系统动力学行为复杂性的计算机辅助判定

论文摘要

为了研究解析方法无法研究的系统的复杂动力学行为,本文发展了系统动力学行为复杂性的计算机辅助判定理论和判定方法。动力系统动态行为复杂性的计算机判定是将计算机算法和深刻的数学理论结合起来对系统进行研究的新型方法,是一项相当困难的工作;其中,混沌性判定的难度很大,进行混沌性判定研究除了需要较深的动力系统理论以外,还需要大量的数值计算、计算机仿真和算法分析。为了研究系统的混沌性,本文介绍了拓扑马蹄理论,然后根据拓扑马蹄理论提出了计算机辅助验证系统混沌性的系列算法,并应用于化学反应系统和神经网络系统的研究。本文给出了利用拓扑马蹄理论进行计算机辅助验证的一般步骤,并分别针对单螺旋混沌吸引子、双螺旋混沌吸引子、多螺旋混沌吸引子给出了寻找马蹄的一般思路,进一步,可以基于拓扑马蹄的寻找给出系统复杂性的定量描述。为了更有效地研究系统的动力学行为,本文还对(不)稳定流形算法进行了研究,对现有的(不)稳定流形算法进行了改进,提出了两种新算法。新算法有利于降低误差、减少计算量。利用以上理论和算法,本文分析了Hopfield神经网络系统、细胞神经网络系统和化学反应系统的几个模型。本文利用计算机仿真、Lyapunov指数计算、计算机辅助验证等手段对这些系统的动力学行为进行了研究,发现了丰富的动力学行为,比如:混沌、超混沌、极限环、二维环面等。本文在四维Hopfield神经网络和四维细胞神经网络中发现二维不变环面现象,并对二维环面的存在性进行了计算机辅助验证。同时,利用拓扑马蹄理论结合计算机辅助验证对系统的混沌性进行了判定。另外,本文利用Poincaré截面和Poincaré映射,对极限环的存在性、混沌系统中吸引集合的存在性进行了有效验证。对神经网络系统和化学系统动力学行为的分析判定表明,本文提出的系统动力学行为复杂性的计算机辅助判定方法是高效可行的方法,可以对极限环的存在性、二维环面的存在性、系统的混沌性、吸引集合的存在性进行判定,并对系统的复杂程度给出定量描述。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 非线性动力学和混沌理论的建立和发展
• 1.2 混沌的概念和特征
• 1.3 通向混沌的道路
• 1.4 混沌现象的判定方法
• 1.5 研究系统动力学行为复杂性的理论工具发展现状
• 1.6 本文研究的内容
• 2 系统动态复杂性理论基础
• 2.1 连续系统的混沌定义
• 2.2 符号动力系统
• 2.3 Smale 马蹄理论
• 2.4 拓扑马蹄理论
• 2.5 平面映射的马蹄理论
• 2.6 混沌研究中的解析方法
• 2.7 分岔
• 2.8 Lyapunov 指数
• 2.9 本章小结
• 3 系统动态复杂性理论和算法研究
• 3.1 （不）稳定流形计算
• 3.2 系统混沌性的计算机辅助判定
• 3.3 系统拓扑熵计算
• 3.4 二维环面存在性判定
• 3.5 周期轨存在性判定
• 3.6 吸引集合存在性判定
• 3.7 误差处理
• 3.8 本章小结
• 4 HOPFIELD 神经网络系统动力学行为分析及动态复杂性判定
• 4.1 3-HNN 系统I
• 4.2 3-HNN 系统II
• 4.3 4-HNN 系统I
• 4.4 4-HNN 系统II
• 4.5 本章小结
• 5 细胞神经网络系统动力学行为分析及动态复杂性判定
• 5.1 3-CNN 系统
• 5.2 4-CNN 系统
• 5.3 本章小结
• 6 化学反应系统动力学行为分析及动态复杂性判定
• 6.1 化学反应系统介绍
• 6.2 化学反应系统的性质分析
• 6.3 化学反应系统的混沌性判定
• 6.4 本章小结
• 7 总结和展望
• 7.1 全文总结
• 7.2 研究展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录1 作者在攻读博士学位期间所发表的论文目录
• 附录2 攻读博士学位期间获奖情况