多阶分数微分方程的分数BDF方法

论文摘要

近年来,分数阶微积分引起了人们的极大的兴趣,许多学者将分数阶微积分广泛应用于科学和工程领域。本文考虑多阶分数微分方程初值问题,包括多分数阶常微分方程初值问题和多分数阶偏微分方程初值问题,用分数BDF方法（Fractional Backward DifferentialMethod）来计算非线性多阶分数微分方程初值问题的数值解。首先将多阶分数微分方程的初始条件齐次化。这样,不同定义形式的分数阶导数就可以相互等价,方程中的Caputo分数阶导数和Riemann-Liouville分数阶导数可以自由转换,为多阶分数微分方程转化为与之等价的分数阶微分方程组提供了新方案。尽量减少使用的状态变量,使微分方程组的规模较目前论文中提及的现有转换方式有所减少,从而减少了计算开销。然后,对导出的分数阶微分方程组采用Lubich提出的高精度BDF格式进行了数值离散,并给出了方法的相容性、收敛性和稳定性结果（α＞0）。针对分数阶动力系统,对分数阶控制系统的传输函数和一类带分数阶阻尼的非线性初值问题进行了数值模拟,数值试验结果表明方法是高效的。进一步,考虑时间分数阶电报方程,将空间变量离散,将方程转换成一个2项分数阶微分方程,再将其转化成等价的方程组,用分数BDF方法逼近方程组,构造出求解分数阶时间电报方程的隐式格式,该方法是收敛且稳定的。数值例子表明本文构造的方法有更好的精度也更有效。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 预备知识
• 1.3 本文的主要工作
• 第二章 多阶分数微分方程的分数BDF方法算法理论
• 2.1 多阶分数微分方程的等价形式
• 2.2 数值方法
• 2.3 相容性分析
• 2.4 收敛性分析
• 2.5 稳定性分析
• 第三章 分数BDF方法在分数阶动力系统中的应用
• 3.1 线性分数阶动力控制系统数值仿真
• 3.2 一类带分数阶阻尼的非线性初值问题的数值仿真
• 第四章 用分数BDF方法解时间分数阶电报方程
• 4.1 数值方法
• 4.2 数值实验
• 结论和展望
• 参考文献
• 致谢