论文摘要
关于Markov过程理论的研究，历来有概率方法和分析方法。近年来，数学家用分析的方法来研究Markov过程理论，并取得了丰富的成果。本文着力于使用分析的方法来研究Markov过程中极为丰富的一类过程-分支过程的对偶过程，即又称对偶分支过程。众所周知，分支过程的理论及其应用在随机过程论中占很大的份量，毫无疑问，它的重要性是不能被忽略的。主要研究可以参考文献Harris（1963），Athreya和Ney（1972），Asmussen和Hering（1983）。由上述文献知，普通的（1维）Markov分支过程是在状态空间E=Z+={0，1，2，…}上的连续时间Markov链，它的发展机能是由它的独立性质，即它的分支性质所控制，也就是不同的粒子在出生或死亡的时候都是独立的。又由文献[5]和文献[6]知分支过程的Q-矩阵bQ是保守的、FRR的、单调的，也是正则的；同样它的转移函数bP（t）是最小的、FRR的和单调的，因此根据文献[7]中Siegmund定理知bP（t）必是某个单调过程的对偶。我们把该过程称为Markov分支过程的前对偶过程（DMBP）。在第二章中，我们将给出它的存在性及其定义。在文献[8]中，Y．Li已经给出了定义间的等价关系。最后在第三章和第四章分别给出了该过程是常返、遍历及强遍历的刻画。其主要的结果有：定理2．1．1若令前对偶过程q-矩阵为Q，F（t）为它的最小Q-函数，则有（1） Q是随机单调的，亦是对偶的Q-矩阵；（2） Q是正则的；（3） F（t）是随机单调的，且它的对偶过程就是分支过程；（4） F（t）满足前对偶分支性质其中f-1，0（t）=1，f-1，k（t）=0（k≠0）．定理2．1．2若limk→∞ak=0,F（t）为它的最小Q-函数且定义由序列{aj-1-aj，j≥1}生成的母函数则有（1）若A＜+∞，则F（t）是FRR转移函数．（2）若A=+∞且q1是A（s）=0的最小根，则F（t）是FRR转移函数，当且仅当对某个（则对所有）ε1∈（q1，1）都有定理3．1．1如果-（a1／a0）≥2，则对偶分支过程是常返的；如果-（a1／a0）＜2，则对偶分支过程是瞬时的．定理4．1．1令F（t）为对偶分支过程的最小Q-函数，则（1）若limk→∞ak=a＞0，则F（t）是强遍历转移函数；（2）若A＜+∞，则F（t）不是强遍历转移函数；（3）若A=+∞，则F（t）是强遍历转移函数，当且仅当对某个（则对所有）ε1∈（q1，1）都有然而，在通常的情况下，分支过程的独立性一般是不符合实际的。特别当粒子变大或它的运动速度增大时，它们可能发生相互之间的碰撞，进而使得它们的出生率与死亡率发生改变。为了更好的模拟这种运动，我们通常把分支率{ibj-i+1}推广到更为一般的情形{iθbj-i+1}，也就是得到了推广的分支过程（GMBP）。在第二章中，我们得到GMBP的基本性质，根据这些性质可以得到它一样具有前对偶过程，即推广的对偶分支过程（DGMBP）．同样的，在第二章，我们给出该过程的存在性、定义及定义间的等价关系。在第三章和第四章分别给出了该过程的常返性、遍历性及强遍历的充要条件，其主要有结果有：定理2．2．3对于给定的推广分支过程转移函数bP（t），若θ≤1或者θ＞1且m1＞0，则总是存在另外一些转移函数P（t）满足其中定理2．2．4若P（t）为推广对偶分支过程的转移函数，以下两个结论等价（1）如果θ≤1或者θ＞1且m1＞0，则总是存在推广分支过程的转移函数，bP（t）满足（2）q-矩阵Q=P′（0）满足其中序列{ak，k∈E}满足a0＜0，a1≥a2≥…≥ak≥…≥0，a（-1）=0（若出现）．定理3．1．2推广对偶分支过程常返当且仅当其中Rn定义为R0=1且有定理4．1．2推广对偶分支过程遍历当且仅当1＜γ≤+∞，其中γ=∑k≥1 ak／|a0|．遍历极限πj满足下列关系πj=（1-q）qj，j∈E，其中q是方程B（s）=0，s∈[0，1]的最小根，且满足q＜1当且仅当γ＞1．定理4．2．3若P（t）为推广对偶分支过程的转移函数，其q-矩阵Q满足（2．10-11），若（1） limk→∞ak=a＞0，则P（t）总是强遍历的；（2） limk→∞ak=0且满足1≤γ≤+∞，则以下四个结论等价：（ⅰ）推广对偶分支过程是强遍历的；（ⅱ）存在ε满足q＜∈＜1使得下列积分（ⅲ）下列积分收敛，即其中，γ=∑k≥1ak／|a0|，B（s）和q（满足0＜q＜1）如（2．8）式所定义。（ⅳ）对所有ⅰ≥1，都有