某些非线性孤立波方程（组）的数值算法研究

论文摘要

一切耗散效应可以忽略不计的物理过程都可表示成保持能量守恒且辛几何结构不变的哈密尔顿系统的形式,它在自然界中具有普适性,也就是说大多数孤子方程都可以表示成哈密尔顿形式。现代数值计算的基本原则是尽可能保持原问题的本质特征。因此,研究保持哈密尔顿系统的能量守恒性及辛几何结构特征的数值方法是必然的。但对很多非线性孤立波方程,尤其是非线性耦合孤立波方程组而言,已有的守恒差分格式多为隐式耦合格式,计算中需要耗费大量机时,且普遍精度不高。还有一些非线性耦合方程组则很少见到守恒差分算法的数值研究,即使出现一些算法也缺少必要的理论证明。而辛和多辛算法发展到今天,其对非线性方程(组)的数值解,至今为止尚很少见到严格的收敛性和稳定性分析。本文对一些非线性孤立波方程和非线性耦合孤立波方程组进行了数值研究,提出了一些新的守恒差分格式,其中包括一些显式守恒差分格式,提出了几个新的重要不等式,结合能量分析方法给出了所有这些守恒差分格式的收敛性、稳定性等必要的理论分析。尤其是对于显式差分格式,我们综合运用数学归纳法和能量分析方法,避开了较难的先验估计而直接证明了它们的收敛性和稳定性。非线性方程的辛和多辛差分算法的收敛性及稳定性证明是一个20几年来的公开问题。本文以非线性耦合Schr(o|¨)dinger方程组的数值求解为例,首次给出了辛和多辛差分算法的严格收敛性和稳定性证明,该方法可推广到其它非线性方程(组)的辛和多辛差分算法的收敛性证明。对一类带阻尼项的非线性Schr(o|¨)dinger方程构造了两个新的差分格式,克服了较难的先验估计,证明了近似吸引子的存在性和差分解的长时间收敛性及稳定性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 孤立波方程（组）的保能量算法――（能量）守恒差分算法
• 1.2 孤立波方程（组）的保辛算法――辛和多辛算法
• 1.3 非线性发展方程长时间问题的数值计算
• 1.4 本文的主要工作和创新点
• 1.4.1 本文的主要创新点
• 1.4.2 本文结构安排
• 第二章 一些概念和引理
• 2.1 本文需要的几个引理
• 2.2 辛几何的一些基础知识
• 2.3 辛几何算法
• 2.3.1 辛算法
• 2.3.2 多辛算法
• 第三章 非线性耦合Schr（o|¨）dinger 方程组的守恒差分算法
• 3.1 一个耦合的非线性化守恒差分格式
• 3.1.1 有限差分格式及其离散守恒律
• 3.1.2 差分解的存在性
• 3.1.3 差分格式的收敛性和稳定性
• 3.1.4 差分格式的算法分析
• 3.2 一个非耦合线性化守恒差分格式
• 3.2.1 有限差分格式及其离散守恒律
• 3.2.2 差分格式的收敛性和稳定性
• 3.3 数值实验
• 3.3.1 算例1
• 3.3.2 算例2
• 第四章 耦合Klein-Gordon-Schr（o|¨）dinger 方程组的新型守恒差分格式
• 4.1 一个二阶精度线性化非耦合守恒差分格式
• 4.1.1 差分格式的离散守恒律
• 4.1.2 差分解的先验估计
• 4.1.3 差分格式的收敛性和稳定性
• 4.2 一个二阶精度显式守恒差分格式
• 4.2.1 差分格式的离散守恒律
• 4.2.2 差分格式的收敛性和稳定性
• 4.3 数值试验
• 4.3.1 收敛性
• 4.3.2 守恒律
• 4.3.3 孤立波的碰撞
• 第五章 求解Klein-Gordon-Zakharov 方程组的守恒差分格式
• 5.1 一个隐式守恒差分格式
• 5.1.1 有限差分格式及其离散守恒律
• 5.1.2 差分解的存在性
• 5.1.3 差分格式的收敛性和稳定性
• 5.2 一个显式守恒差分格式
• 5.2.1 有限差分格式及其离散守恒律
• 5.2.2 差分格式的收敛性和稳定性
• 5.3 数值实验
• 第六章 对称正则长波方程的守恒差分格式
• 6.1 一个耦合的两层非线性守恒差分格式
• 6.1.1 有限差分格式及其离散守恒律
• 6.1.2 差分解的存在性和先验估计
• 6.1.3 差分格式的收敛性和唯一性
• 6.1.4 差分格式的算法分析
• 6.2 一个非耦合的三层线性化守恒差分格式
• 6.2.1 有限差分格式及其离散守恒律
• 6.2.2 差分解的先验估计
• 6.2.3 差分格式的收敛性
• 6.2.4 差分格式的算法分析
• 6.3 数值实验
• 第七章 非线性耦合Schr（o|¨）dinger 方程组的保辛算法研究
• 7.1 非线性耦合Schr（o|¨）dinger 方程组的辛差分格式
• 7.1.1 耦合Schr（o|¨）dinger 方程组的Hamilton 形式及其辛格式
• 7.1.2 辛格式的收敛性和稳定性
• 7.2 非线性耦合Schr（o|¨）dinger 方程组的多辛差分格式
• 7.2.1 Schr（o|¨）dinger 方程组的Hamilton 形式及其多辛差分格式
• 7.2.2 耦合Schr（o|¨）dinger 方程组多辛差分格式的性质
• 7.2.3 多辛差分格式的收敛性
• 第八章 带阻尼项的非线性Schr（o|¨）dinger 方程的差分解的长时间行为
• 8.1 非线性离散系统的长时间行为
• 8.1.1 差分解的存在性
• 8.1.2 非线性离散系统的长时间先验估计
• 8.1.3 近似吸引子的存在性
• 8.1.4 稳定性和收敛性
• 8.2 线性化格式的长时间行为
• 8.2.1 差分解的存在唯一性
• 8.2.2 线性化格式的长时间先验估计
• 8.2.3 稳定性和收敛性
• 第九章 总结与展望
• 9.1 本文总结
• 9.2 前景和展望
• 参考文献
• 致谢
• 在学期间的研究成果及发表的学术论文