非线性方程迭代方法的研究

论文摘要

在研究社会问题和自然现象时数学是一种工具，因而工程和科学技术中的很多问题都可归结为非线性方程求根的问题来解决。对于此类问题尤其是次数大于4次的方程f （x）=0，我们一般都不能用解析方法求出它的精确解或者不能用其系数来表示它的各个根，而这时我们只能寻求某种数值方法来求出其近似解。目前除了经典的牛顿法外，研究者不断地提出了许多新的方法，例如[1][13][14]等文章中给出了几种非线性方程求根的新方法，他们丰富了非线性方程求根的内容。本文主要是基于牛顿法迭代函数，牛顿法求单根的迭代函数以及一种新的迭代函数等，给出其迭代格式，证明其收敛阶数，并进一步研究其收敛性及其收敛效率指数。论文主要分为五个部分，第一部分主要介绍迭代法的背景，第二部分主要介绍一些常用的求解非线性方程的方法。第三部分主要介绍一种修正的牛顿迭代法的改进。第四部分主要介绍Newton-Cotes方法用于非线性方程求根。第五部分是对全文的总结及展望。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 致谢
• 第一章 绪论
• 1.1 非线性方程的数值解选题背景和意义
• 1.2 迭代法的有关概念及其进展
• 1.3 本文结构与工作
• 第二章 一些常用的求解非线性方程的方法及收敛性
• 2.1 二分法 （The Bisection Method）
• 2.2 不动点迭代法 （Fixedpoint Iteration）
• 2.3 Newton 法（The Newton’s Method）
• 2.4 弦截法（Secant Method）
• 2.5 抛物线法
• 2.6 Euler 法 （The Euler’s Method）
• 2.7 Halley 法 （The Halley’s Method）
• 2.8 小结
• 第三章 一种修正的牛顿迭代法的改进
• 3.1 引言
• 3.2 修正的牛顿迭代法
• 3.3 收敛性分析
• 3.4 数值试验及结论
• 第四章 NewtonCotes 方法用于非线性方程求根
• 4.1 引言
• 4.2 三阶 NewtonCotes 变形方法
• 4.3 收敛性分析
• 4.4 数值试验结果与结论
• 第五章 全文总结与未来展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间完成的论文