用矩阵符号函数和Padé逼近求解不变子空间

论文摘要

本文主要研究矩阵特征值中的不变子空间的计算问题。关于特征值的计算问题，有很多经典的算法。然而这些经典算法用于计算不变子空间时，常会碰到很大困难，有时甚至无法采用。产生于二十世纪七十年代早期的在控制论方面得到广泛应用的矩阵符号函数，很快便被用于求解不变子空间。本文研究用矩阵符号函数来求解不变子空间的一些迭代方法。本文首先介绍矩阵符号函数的代数形式和几何形式的定义及其一些性质。然后回顾计算矩阵符号函数的牛顿迭代和有理迭代方法并分析了牛顿迭代法的收敛速度和加速收敛问题，有理迭代算法的收敛速度和Hermite矩阵情形的改进问题。其次，作为本文的核心部分，主要研究用二阶Padé逼近来计算矩阵符号函数。与其它计算矩阵符号函数的迭代法相比较，二阶Padé迭代方法具有更快的收敛性，具有五次收敛速度，在此算法中，计算量稍有增加。Krylov子空间方法是求解大型线性方程组和大型矩阵的特征值问题的一种很有效的方法。针对大型矩阵求逆比较困难的问题，本文考虑如何用Krylov子空间来避免这一点。文章的最后给出了数值实验，实验结果表明Padé二阶逼近确实可以用于解决不变子空间问题，与本文前面所提到的几种方法相比，有更快的收敛速度。同时对于高阶Padé逼近的收敛特性，也给出了数值例子来验证。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 引言
• 第二章 矩阵符号函数及符号函数的计算
• 2.1 矩阵符号函数的定义及性质
• 2.2 符号函数sign（x）的Newton型迭代计算
• 2.2.1 sign（x）的经典牛顿迭代
• 2.2.2 sign（x）的有理迭代
• 2.3 符号函数的Padé迭代
• 2.3.1 函数的Padé逼近及其性质
• 1/2的Padé逼近'>2.3.2 函数（1+x）^1/2的Padé逼近
• 2.3.3 符号函数的Padé逼近
• 第三章 计算sign（A）和不变子空间
• 3.1 sign（A）的经典牛顿迭代
• 3.1.1 经典牛顿迭代及其收敛性
• 3.1.2 加速收敛
• 3.2 sign（A）的有理迭代
• 3.3 sign（A）的Padé迭代
• 3.3.1 一阶Padé迭代
• 3.3.2 二阶Padé迭代
• 3.3.3 高阶Padé迭代
• 3.4 不变子空间计算
• +和V_-'>3.4.1 计算不变子空间V₊和V_-
• a,b'>3.4.2 计算指定的不变子空间V_a,b
• 3.4.3 可实对角化情形
• 第四章 用Krylov子空间求解不变子空间
• 4.1 Arnoldi迭代
• 4.2 重开始的Arnoldi方法
• 4.3 子空间的扩张
• 第五章 数值实验
• 5.1 若当形矩阵
• 5.2 可实对角化情形的一次收敛性
• 5.3 对称矩阵情形
• 5.4 非对称矩阵情形
• 第六章 结论
• 参考文献
• 致谢