两类分段连续型微分方程数值解的稳定性

论文摘要

本文主要研究了两类分段连续型微分方程（即:脉冲微分方程和自变量分段连续型微分方程）的数值解的稳定性。该两类分段连续型微分方程广泛存在于应用科学的各个领域中,其数值解的稳定性分析具有重要的理论价值和实际意义。文中详细地叙述了脉冲微分方程和自变量分段连续型微分方程的应用背景和研究历史,回顾了该两类分段连续型微分方程的解析解和数值解的稳定性发展状况。对于线性脉冲微分系统,分析了解析解的渐近稳定性。定义了保持收敛阶的变步长的Runge-Kutta格式。当范数为2-范数时,分别分析了系数矩阵L满足μ[L]≤0、μ[?L]≤0和L为任意矩阵时Runge-Kutta方法和θ-方法其数值解保持解析解渐近稳定的条件。特别地,利用Order Stars和Pade′逼近理论,研究了稳定函数由ex的（r,s）-Pade′逼近给出的Runge-Kutta方法其数值解保持解析解渐近稳定的条件。对于脉冲微分系统和离散系统,分别给出了相应的Lyapunov定理,该定理是现有的Lyapunov定理的一个改进。讨论了几类脉冲微分方程和离散的线性脉冲方程的渐近稳定性条件。研究了θ-方法应用于变系数的线性脉冲微分方程其数值解保持解析解渐近稳定的条件。对于自变量分段连续型d维复线性微分系统,研究了解析解的渐近稳定性。定义了保持收敛阶的Runge-Kutta格式。在μ[L] < 0的条件下,分别讨论了系数矩阵L为复矩阵、规范矩阵和实对称矩阵时,其数值解保持解析解渐近稳定的条件。特别地,当L为实对称矩阵时,利用Order Stars和Pade′逼近理论,研究了稳定函数由ex的（r,s）-Pade′逼近给出的Runge-Kutta方法其数值解保持解析解渐近稳定的条件。最后,研究了一个自变量分段连续型偏微分方程。文中给出的例子展现了一个有趣现象:把著名的Crank-Nicolson公式应用于该类方程和一般的偏微分方程具有不同的性质。因此,研究该类方程的数值解是很有意义的。对于该类方程定义了有限差分方法:θ-格式,并具体地研究了该格式其数值解保持解析解渐近稳定的条件。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 脉冲微分方程
• 1.2 自变量分段连续型微分方程
• 1.3 本文的主要工作
• 第2章 线性脉冲微分系统的数值稳定性
• 2.1 引言
• 2.2 解析解的稳定性
• 2.3 Runge-Kutta 方法
• 2.3.1 数值解的稳定性
• 2.3.2 2-范数及L为实对称矩阵的情况
• 2.3.3 θ-方法当2-范数及L为实对称矩阵的情况
• 2.4 数值算例
• 2.5 本章小结
• 第3章 脉冲微分系统的稳定性
• 3.1 引言
• 3.2 解析解的稳定性
• 3.3 离散系统的稳定性
• 3.4 数值解的稳定性
• 3.4.1 θ-方法
• 3.4.2 数值稳定性
• 3.5 数值算例
• 3.6 本章小结
• 第4章 系统u'（t） = Lu（t） + Mu（[t]） 的数值稳性
• 4.1 引言
• 4.2 解析解的稳定性
• 4.3 Runge-Kutta 方法
• 4.4 数值解的稳定性
• 4.4.1 一般渐近稳定性
• 4.4.2 2-范数及L为规范矩阵的情况
• 4.4.3 2-范数及L 为实对称矩阵的情况
• 4.5 数值算例
• 4.6 本章小结
• t（x; t） = a²u_xx（x; t） + bu_xx（x; [t]） 的数值稳定性'>第5章 方程u_t（x; t） = a²u_xx（x; t） + bu_xx（x; [t]） 的数值稳定性
• 5.1 引言
• 5.2 有限差分方法：θ-格式
• 5.3 数值解的稳定性
• 5.4 数值算例
• 5.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的学术论文
• 致谢
• 个人简历