论文摘要
各种算术序列和数论函数的性质研究一直是数论研究的核心内容.著名美籍罗马尼亚数论专家Florentin Smarandache教授于1993年出版的《只有问题,没有解答!》一书中明确提出了105个关于特殊序列,算数函数的数学问题及猜想.随着这些问题的提出,许多数论爱好者对此书中尚未解决的若干问题进行了探讨和研究,得到了一些极具学术价值的研究成果,推动数论不断向前发展.正是基于对上述问题的兴趣,本文针对Smarandache教授提出的未被解决的几个问题,运用初等及解析的方法对它们的算术性质进行了分析和研究,最后得到一些较好的性质和结论.具体阐述如下：1.分别研究了Smarandache 3n数列和Smarandache 5n数列的均值性质；讨论了包含Smarandache 5n数列的无穷级数的敛散性；证明了当正整数n取某些特殊值时,Smarandache 5n数列中不存在完全平方数.2.定义了一个新的数论函数J(n)：若n=p1α1p2α2…pkαk(Pi为素数,1≤i≤k)是正整数n的标准因数分解式,β≥1为任意给定的实数,则运用初等及解析的方法研究了J(n)在简单数集合中的均值性质,最后给出一个较强的渐近公式.3.讨论了Smarandache双阶乘函数Sdf (n)与正整数n的最大素因数函数P(n)的混合均值,并给出了一个较好的渐近公式.4.利用分类讨论的方法研究了方程φ(n)=S(n5)的可解性,给出了该方程的全部正整数解.这里S(n)为Smarandache函数,φ(n)为Euler函数.