高阶矩阵谱问题非线性化与孤立子方程的拟周期解

论文摘要

近年来，非线性科学已广泛应用于数学、物理、化学、生物学、通讯、经济学等学科，引起了人们普遍关注，孤立子理论是非线性科学的重要组成部分，是数学和理论物理研究的热门方向，目前已有许多成功有效的研究方法和技巧，如反散射方法、B（?）cklund变换、Darboux变换、Painlevé分析法、Hirota方法等，为求解和描述非线性系统提供了强有力的工具。1988年，曹策问教授提出并发展了Lax对非线性化方法，其主要思想是通过找到谱问题中位势函数与特征函数之间的一种约束关系，这种约束大部分来自于方程的对称，所以通常又称为对称约束，将这种约束代入原谱问题，可以将其约束成有限维Hamilton系统，并且可以证明该系统在Liouville意义下是完全可积的，目前，这种方法主要有三个方面应用：（1）通过对孤立子方程相应的谱问题非线性化可获得大量新的可积的有限维Hamilton系统，这极大地促进了有限维可积系统的深入研究和发展。（2）给出了无限维系统可以约化成有限维系统这一论断，揭示了有限维与无限维可积系统之间的内在关系。（3）提供了求孤立子方程精确解，特别是拟周期解的一种有效途径。本文主要研究孤立子与可积系统中高阶矩阵谱问题的单非线性化和广义AKNS系统的拟周期解及其约化。第二章主要研究一类具有三个位势的四阶矩阵谱问题及其产生的有限维可积系统，借助于可积条件-零曲率表示导出了新的耦合KdV方程族，利用迹恒等式建立了该方程族的双Hamilton结构．然后利用单非线性化方法，得到Bargmann约束，在相应的辛流形上，引入Poisson括号，找到了它的足够多即2N个两两对合且函数独立的守恒积分，从而证明了该有限维Hamilton系统在Liouville意义下是完全可积的。第三章主要研究一类2n阶矩阵谱问题及其产生的有限维可积系统，首先借助于零曲率表示，从形式上导出了矩阵AKNS方程族，并具体给出了显式的耦合矩阵NLS方程与耦合矩阵MKdV方程，进而利用单非线性化方法，得到Bargmann约束，找到了它们Lax表示，由于系统矩阵是高阶的及其矩阵的不可交换性，守恒积分不能显式地表示出来，这里克服了此方面困难，证明了这些守恒积分是两两对合且函数独立的，从而该有限维Hamilton系统在Liouville意义下是完全可积的。第四章主要研究一类二阶矩阵谱问题，由零曲率表示导出了广义AKNS方程族，特别是研究其中一类耦合Schrodinger方程的拟周期解及其约化。首先，由Lax矩阵引入椭圆坐标，将方程分解为两个可解的常微分方程。在Abel-Jacobi坐标窗口下，将流拉直成关于流变量的线性函数，然后利用Riemann反演技巧，显式地构造了耦合Schrodinger方程的Riemann-θ函数形式的拟周期解。此外，目前关于拟周期解约化的研究还很少，我们以耦合Schrodinger方程的拟周期解为例，探讨了非线性孤立子方程拟周期解的约化技巧。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT（英文摘要）
• 第一章 绪论
• 1.1 Hamilton系统
• 1.2 非线性化
• 1.3 拟周期解
• 1.4 本文主要工作和创新点
• 第二章 四阶矩阵谱问题及其产生的有限维可积系统
• 2.1 耦合KdV方程族
• 2.2 双Hamilton结构
• 2.3 非线性化与有限维Hamilton系统
• 2.4 有限维Hamilton系统的可积性
• 2.5 耦合KdV方程族的对合解
• 第三章 2n阶AKNS谱问题及其产生的有限维可积系统
• 3.1 矩阵形式的非线性发展方程
• 3.2 非线性化与有限维Hamilton系统
• 3.3 有限维Hamilton系统的可积性
• 3.4 矩阵孤立子方程的对合解
• 第四章 广义AKNS系统的拟周期解及其约化
• 4.1 广义AKNS方程族
• 4.2 变量分离
• 4.3 流的拉直
• 4.4 拟周期解
• 4.5 拟周期解的约化
• 参考文献
• 致谢
• 博士期间发表论文及获奖情况