四元数M-J集的构造及其分形结构的研究

论文摘要

Mandelbrot集（以下简称M集）和Julia集是分形发生学中的经典集合。借助于计算机的运算和模拟手段,人们对M集和Julia集进行了大量的分析和研究,实现了对动力系统的许多构想,同时其研究结果还涉及交叉发展的诸多学科领域,如Klein群理论、拟共形映照理论、Teichm（u|¨）ller空间理论、拓扑学、复分析、计算方法、遍历性理论和符号动力学等。目前高维分形是分形领域中研究的一个热点,但是高维分形因高维空间的复杂性和图像显示的困难性还有很多问题亟待探讨。本文构造了对四元数映射f:z←zα+c（α∈Z）的广义M集和Julia集,并对其特性进行了深入的研究,探讨了四元数广义M-J集的裂变演化规律。本文利用n维参数L系统描述了超复数空间广义M集和Julia集,给出了描述算法和实验所得图形,并对四元数广义M-J集的动力学特征进行了理论上的分析和探讨。本文研究发现了四元数广义M集的特殊拓扑结构以及四元数广义Julia集的参数不变性,推广了Bogush的相关结论。实验结果表明,n维参数L系统字母表较为简洁,包含信息量大,可以有效的描述诸如广义M-J集和四元数广义M-J集的分形集。本文绘制了四元数广义M-J集的三维分形图,并采用逃逸时间算法或Lyapunov指数法与周期点查找法相结合,构造了四元数广义M-J集的周期域。计算了四元数M集的周期域的边界条件,并从理论上对四元数广义M-J集的动力学特征进行了分析和探讨。通过在四元数M集取点构造四元数Julia集,定性建立了四元数M集上点的坐标与四元数Julia集整体结构之间的对应关系。采用逃逸时间算法与周期点查找结合法,构造了四元数映射f:z←z2+c的多临界点M集,探索了多临界点情况下四元数M集的拓扑结构和裂变演化规律,计算了四元数M集的周期域的中心位置和边界条件。提出了改进的逃逸时间算法,采用该算法构造四元数广义M集可以观察到,周期域中心点的分布随临界点不同产生了迁移甚至分化。通过构造分岔图和计算M集的盒维数,讨论了不同临界点对M集的影响。研究结果表明,四元数映射f:z←z2+c的M集由所有临界点决定的四元数M集的并集组成。构造了受动态噪声和输出噪声扰动的四元数M集,并分析了噪声扰动下M集的拓扑结构演变规律。通过构造周期域和分岔图观察了噪声对M集的影响。研究结果表明,加性动态噪声并没有从本质上改变四元数M集的结构,噪声使得M集的周期稳定域产生了偏移。乘性动态噪声使得M集的稳定域产生了收缩,而收缩的比例是由噪声的强度决定的。另外,受干扰的M集始终相对实轴保持着对称。输出噪声并没有改变M集的周期域的边界,但是影响了区域的内部结构。加性和乘性输出噪声都使得周期域产生缺失。乘性输出噪声扰动的M集相对实轴保持对称,而加性输出噪声则完全破坏了M集的对称性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 分形理论的发展及研究现状
• 1.1.1 分形概念的提出与分形理论的建立
• 1.1.2 分形理论的发展阶段
• 1.1.3 分形理论对相关领域的影响
• 1.1.4 分形理论的研究现状
• 1.1.5 分形应用的若干研究领域
• 1.2 高维分形理论的研究现状
• 1.3 本文的研究意义及研究内容
• 1.3.1 本文的研究意义
• 1.3.2 本文的研究内容
• 2 四元数M-J集的相关理论
• 2.1 四元数简介
• 2.1.1 四元数的定义
• 2.1.2 四元数运算
• 2.1.3 四元数的三角表示法
• 2.2 四元数广义M集的定义
• 2.3 四元数广义Julia集的定义
• 2.4 分形集的绘制算法
• 2.4.1 逃逸时间算法
• 2.4.2 Lyapunov指数法
• 2.4.3 逃逸时间算法与周期点查找结合法
• 2.4.4 改进的逃逸时间算法
• 2.4.5 M集上取点构造J集的周期轨道搜索比较法
• 2.5 分形集的分维
• 2.6 本文的研究思路
• 3 超复数空间广义M-J集的L系统描述
• 3.1 n维参数OL系统
• 3.1.1 n维参数OL系统的定义
• 3.1.2 图形描述
• 3.2 广义M集n维参数OL系统
• 3.2.1 广义M集n维参数OL系统的定义
• 3.2.2 指数为正整数的广义M集
• 3.2.3 指数为负整数的广义M集
• 3.2.4 复平面广义M集的性质
• 3.3 广义Julia集n维参数OL系统
• 3.3.1 指数为正整数的广义Julia集
• 3.3.2 指数为负整数的广义Julia集
• 3.3.3 复平面广义Julia集的性质
• 3.4 四元数广义M集n维参数OL系统
• 3.4.1 四元数广义M集n维参数OL系统的定义
• 3.4.2 指数为正整数的四元数广义M集
• 3.4.3 指数为负整数的四元数广义M集
• 3.4.4 四元数广义M集的性质
• 3.5 四元数广义Julia集n维参数OL系统
• 3.5.1 指数为正整数的广义Julia集
• 3.5.2 指数为负整数的广义Julia集
• 3.5.3 四元数广义Julia集的性质
• 3.6 本章小结
• 4 四元数广义M-J集
• 4.1 四元数广义M集
• 4.1.1 四元数广义M集的性质
• 4.1.2 四元数广义M集的稳定周期域
• 4.2 四元数广义Julia集
• 4.2.1 四元数广义Julia集的性质
• 4.2.2 四元数广义Julia集的周期域
• 4.3 本章小结
• 5 四元数M集的多临界点问题研究
• 5.1 四元数M集的临界点集
• 5.2 多临界点四元数M集的性质
• 5.3 四元数M集的稳定周期域
• 5.3.1 稳定周期域的边界
• 5.3.2 稳定周期域的中心
• 5.4 四元数M集的分岔图
• 5.5 四元数M集的分形维数
• 5.6 多临界点四元数M集对应的Julia集
• 5.7 本章小结
• 6 噪声扰动的四元数M集
• 6.1 噪声扰动的四元数M集的迭代形式
• 6.1.1 加性动态噪声
• 6.1.2 乘性动态噪声
• 6.1.3 加性输出噪声
• 6.1.4 乘性输出噪声
• 6.2 加性噪声扰动下的四元数M集
• 6.2.1 加性噪声扰动的四元数M集
• 6.2.2 M集的稳定周期域
• 6.2.3 M集的分岔图
• 6.3 乘性噪声扰动的四元数M集
• 6.3.1 乘性动态噪声扰动的四元数M集
• 6.3.2 M集的稳定周期域
• 6.3.3 M集的分岔图
• 6.4 输出噪声扰动的四元数M集
• 6.4.1 加性输出噪声扰动的四元数M集
• 6.4.2 乘性输出噪声扰动的四元数M集
• 6.5 本章小结
• 7 总结与展望
• 7.1 总结
• 7.2 展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 攻读博士学位期间参加项目和获奖情况
• 致谢
• 作者简介