论文摘要
等距线和测地线是计算机辅助几何设计中具有重要研究价值的两类基本曲线.其中,等距线的近似有理表示、逼近误差估计、低次曲线逼近,以及过测地线的有理曲面、可展曲面设计和调控由于直接关系到几何设计系统、工程技术应用、工业生产加工的功能、质量、精度及效率等而成为当前的研究热点.然而它们迄今未有令人满意的解决方案.本文围绕这些问题展开深入研究,建立起一系列方便高效的几何算法,取得了以下丰富的创新性理论成果:（1）提出一种能够精确等距圆弧的高精度、高连续阶的等距逼近新算法.基于对现有各种等距逼近算法局限性的深入剖析,提炼出按算法几何意义、逼近误差精度、逼近曲线形式、等距常用曲线等原则来评价等距逼近方法优劣的一个基本准则;并以此为目标,借助基圆重新参数化的等距逼近思想,采用独特的参数化函数,创造出一种全新的等距逼近算法:无需预先识别就能精确等距圆弧这类常用曲线,在高精度要求下比现有等距逼近算法产生更少的分段数和控制顶点数,且将逼近连续阶由一般情况的G1提高到C1;从而一举克服了现有算法中不能精确等距圆弧、高度依赖于点采样、全局误差难以有效控制等种种弊病,特别适合应用于几何设计系统中,在压缩数据存储量、提高计算效率、改善曲线整体光滑性效果方面有特别重要的现实意义.（2）对基于基圆重新参数化的等距逼近算法进行了透彻的误差估计.着眼于误差产生来源,发现并阐述了基圆重新参数化等距逼近算法与基圆逼近算法之间的对偶性;揭示出前者的误差来源于近似等距方向与基曲线法向之间的偏角,并指出近似等距曲线与基曲线上对应点之间的距离向量其模长恒为已知等距距离但其方向却偏离基曲线法向,只有彻底研究偏角的几何内涵及代数形式才能精确估计等距逼近误差;基于这种发现,摒弃了常用的对应参数点误差估计方式,巧用几何信息,提出并成功地实现了用Hausdorff距离来计算近似等距曲线与精确等距曲线上对应点之间误差的新方法:从而在极大程度上完善了基圆重新参数化这一等距逼近算法的理论研究,并为该算法和其他各类算法的比较提供了理论依据.（3）提出了一种快速实现易于造型、兼容于不同几何设计系统的低次等距逼近的新算法.通过改进传统的向量值Padé逼近方法,结合曲线细分、中点展开等技术,构造出可以达到预设精度的任意次的有理等距逼近,从而消除了现有的低次等距逼近算法中大多采用点采样技术,缺乏稳定性且误差估计不便等局限性;利用线性方程组求解,使得算法敏捷,误差估计方便,为低次等距几何逼近提供了一个崭新工具.（4）给出了过给定测地线且兼具某些几何特征的一类参数曲面的设计和调控技术,解决了以往曲面造型中仅有一般设计原理,无法具体进行曲面表示和调整的问题,为服装鞋帽类的变型设计自动化开辟了一个新途径.与此同时,鉴于计算机辅助设计和制造系统对曲面表示和数据交换的需要,实现了过给定测地线的有理曲面设计,给出了常用的三次有理曲面的设计算法,充分考虑到设计中调整曲面形状的需要,采用变分优化技术,便于对曲面直接操作,直观便捷,且兼顾到曲面造型和光顺的需要.（5）提出了全新的可展曲面设计思路.基于将曲面看作动曲线上的点沿局部坐标架在空间中运动所得轨迹的观点,得到了过给定曲线的一张可展曲面的充分必要条件.受鞋衣制造业的启发,特别考虑了给定曲线为所求曲面上一条测地线的情况.根据可展曲面的类型,把给定曲线作相应分类,使得算法在工程中的应用与实现能够十分方便而有效.此外,给出了可展曲面的多项式表示,使得算法效率进一步提高.（6）讨论了广泛应用于工程、能精确表示双曲线、悬链线等超越曲线的H-Bézier曲线的奇异点情况.利用活动控制顶点技术,刻划曲线奇异点与活动控制顶点分布的对应情况,并就判别曲线的类型比较了三次H-Bézier曲线、Bézier曲线、有理Bézier曲线及C-Bézier曲线,并指出了这种曲线刻划方法的重要应用.
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