关于Cantor测度的点态密度的研究

论文摘要

本文共四章.第一章为绪论.第二章为预备知识.第三章与第四章为正文.在第三章中,我们在一定条件下,获得了对称Cantor集上的Cantor测度的点态密度的明确公式,并且,我们对公式中的一个关键变量进行了讨论,所得结论推广了已知结果.设Φ0（x）=ax,Φ1（x）=ax+（1-α）,这里0<α<1/2.用K（α）表示由φ0与φ1生成的对称Cantor集.令s表示K（α）的Hausdorff维数,μ表示Cantor测度.令（?）*s（μ,x）与（?）*s（μ,x）分别表示点x∈K（a）的s-下密度与s-上密度.用（?）s（μ,x）表示点x∈K（a）的s-密度.对于上述Cantor测度μ,由文献[8,24,25,34]得到下列结论：（1）对每一点（2）存在常数0<d<d≤1,使得对于μ-a.e.x∈K（a）有丰德军,华苏与文志英[12]给出了上述Cantor测度μ的（?）*s（μ,x）与（?）*s（μ,x）的明确公式,这里x∈K（a）,a∈(0,1/3],并且证明了公式中的关键变量τ（x）=0对μ-a.e.∈K（a）.这是对上述结论（1）与（2）的明确化.本文在的情况下,对每一点x∈K（a）给出了（?）*s（μ,x）与（?）*s（μ,x）的明确公式,并且,对公式中的关键变量τ（x）的值域给出了刻画.在第四章中,我们对一般情形进行了研究.对0<α<1/2及每一点x∈K（a）我们推测出K（α）的s-上密度（?）*s（μ,χ）的明确公式,并且当时.对推测给出了证明.我们所得到的结论推广和丰富了文献[12,22,26]的结果.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 绪论
• 第二章 预备知识
• 2.1 测度与维数
• 2.1.1 Hausdorff测度与维数
• 2.1.2 计盒（Box-counting）维数
• 2.1.3 填充（Packing）测度与维数
• 2.1.4 Hausdorff中心测度与维数
• 2.2 自相似集及自相似测度
• 2.2.1 迭代函数系
• 2.2.2 自相似集
• 2.2.3 自相似测度
• 2.3 测度的密度
• 2.3.1 测度的点态密度
• 2.3.2 极大、极小中心密度与最大区间密度
• 2.4 Cantor测度
• 2.4.1 对称Cantor集的定义及其基本性质
• 2.4.2 Cantor测度的定义及其基本性质
• 2.4.3 Cantor测度的点态密度
• 第三章 Cantor测度的点态密度（Ⅰ）
• 3.1 相关定义与记号
• 3.2 主要结果
• 3.3 主要结果的证明
• 3.3.1 定理3.1的证明
• 3.3.2 定理3.2的证明
• 3.3.3 定理3.3的证明
• 第四章 Cantor测度的点态密度（Ⅱ）
• 4.1 一般结果的描述
• 4.2 主要结果
• 4.3 定理4.1的证明
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间取得的研究成果
• 致谢