随机常微分方程数值分析中的若干方法

论文摘要

本文主要分两大部分：第一部分（第二章和第三章），我们研究了一类逼近It（?）随机常微分方程初值问题解的分步方法；第二部分也即第四章我们考虑了逼近Stratonovich随机常微分方程初值问题解的随机Runge-Kutta方法．在第二章，我们研究了一类基于Euler方法和Milstein方法的显式分步方法，分析了它们在精度和稳定性上的提高，并分别证明了它们的收敛性．在第三章，针对刚性It（?）随机系统，我们提出了分步向后Milstein方法和分步向后平衡Milstein方法，证明了它们的收敛性，得到了更稳定的结果．在第四章，通过引入更高的确定阶条件和刚性精度，我们构造了一个具有高精度的显式随机Runge-Kutta方法，两个稳定的半隐式随机Runge-Kutta方法和一个稳定的隐式随机Runge-Kutta方法，其中显式方法和第一个半隐式方法适用于非刚性Stratonovich随机微分方程，两个半隐式方法和隐式方法则适用于刚性Stratonovich随机微分方程．

论文目录

• 致谢
• 提要
• 第一章 绪论
• §1 常微分方程数值解
• §2 Butcher的贡献
• §3 刚性问题与数值稳定性
• §4 随机常微分方程数值解
• §5 本文的工作及工作展望
• 第二章 基于Euler和Milstein方法的分步逼近
• §1 预备知识
• 1.1 随机常微分方程
• 1.2 随机微分方程的稳定与随机方法的稳定
• §2 分步Euler方法
• 2.1 分步技巧
• 2.2 稳定性分析
• 2.3 数值结果分析
• §3 分步Milstein方法
• 3.1 二级Milstein方法
• 3.2 三级Milstein方法
• 3.3 稳定性分析
• 3.4 数值结果分析
• 第三章 逼近刚性随机系统的分步向后方法
• §1 预备知识
• 1.1 刚性随机系统
• 1.2 随机It（?）-Taylor展开
• §2 分步向后Milstein方法
• 2.1 方法及其收敛性
• 2.2 稳定性分析
• 2.3 数值结果分析
• §3 分步向后平衡Milstein方法
• 3.1 方法及其收敛性
• 3.2 稳定性分析
• 3.3 数值结果分析
• 第四章 三级随机Runge-Kutta方法
• §1 Burrage夫妇的贡献
• 1.1 Stratonovich多重积分
• 1.2 双色有根树理论
• §2 逼近一般随机系统的三级随机Runge-Kutta方法
• 2.1 三级随机Runge-Kutta方法
• 2.2 稳定性分析
• 2.3 数值结果分析
• §3 逼近刚性随机系统的三级随机Runge-Kutta方法
• 3.1 三级刚性精度随机Runge-Kutta方法
• 3.2 稳定性分析
• 3.3 数值结果分析
• 参考文献
• 附录:攻读博士学位期间完成和发表的论文及成果
• 中文摘要
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