论文摘要
设G是一个连通有限简单图,有n个顶点υ1,υ2,…,υn,且有邻接矩阵A(G)=(αij)n×n,此处G的特征多项式为|xI-A(G)|。由于A(G)是实对称矩阵,故A(G)的所有特征值均为实数。不失一般性,假定它们按不增顺序排列,即 λ1(G)≥λ2(G)≥…≥λn(G)且称之为G的特征值。 当我们考虑的图是树的时候,相应的特征值的界已有了丰富的结果。但是对于具有m-匹配的树的第二大特征值的下界,目前还知之甚少。本文就针对这个问题进行了研究。在第二章第一节中,利用比较两个首一多项式的最大根的方法,得出了一类具有m-匹配的树的第二大特征值的下界。并且第二章第二节中,针对文[6]中关于具有m-匹配的树的最大特征值的上界的一个定理,应用函数单调性这种简单的思想,提出了一个新的证明。与该定理原来复杂的证明过程相比较,新的证明过程非常简短,一目了然。在第三章中,研究了一类新图,设d(υi)表示顶点υi的度(i=1,2,…,v)。令(?)(G)=(d(υ1))1/2,(d(υ2))1/2,…,(d(υv))1/2)T。称G是一个平方根图,如果(?)(G)是G的一个特征向量(G的特征向量指的是A(G)的特征向量)。也就是说,存在一个常数λ,使得A(G)(?)(G)=λ(?)(G)成立。本文用归纳法证明了Ivan Gutman在文[25]中提出的一个猜想,从而得到平方根图的一个优美刻划。主要结果如下。 定理 设T2k*是一棵有2k个顶点的树,且有一个(2t+1)-匹配,k≥2t+1,则当t≥4时, λ2(T2k*)>λ1(B(k,t)),此处树B(k,t),T2k*分别见文中图3,图6。 定理 一个连通图G是平方根图当且仅当G是正则或半正则的。
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