论文摘要
数值微分问题，就是已知函数在若干个离散点处的函数值，求函数的近似导数。微分是积分的反问题，看似简单的数学问题，却比积分问题复杂得多。在实际应用中，函数值的测量必定带有误差，如果数据有误差，所得到的导数的误差可以是任意大的。数值微分问题是典型的不适定问题，对于不适定问题必须采取特殊的方法进行处理才能得到合理的结果。处理数值微分问题已经有了大量的方法：差分和广义差分法，积分算子法，磨光法，以及基于一般正则化理论的方法比如Tikhonov方法。其中Groetsch提出的积分算子法计算简单，可以给出一致的误差估计，而且当函数的光滑性加强时，可以构造类似的积分算子使得误差精度提高。在一些实际应用中，不仅要求一阶数值微分，有时候可能要求二阶甚至更高阶的数值微分。目前在这些方法中，差分方法和基于Tikhonov正则化理论的方法已有对二阶数值微分问题的研究，而积分算子法对于高阶甚至任意阶数值微分问题还鲜见探讨。本文基于Groetsch的思想方法，提出了可以稳定逼近近似己知函数的二阶导数的积分算子方法，并将其应用到二阶数值微分问题上，给出了相应的误差估计。最后，给出了利用本文的积分算子方法计算二阶数值微分的数值实验，结果表明本文的方法具有简单、稳定和可快速实现的特点。