论文摘要
在1990年，Pardoux和彭实戈教授提出了一类形如：yt=ξ+integral from n=t to T g（ys，zs，s）ds-integral from n=t to T zsdBs，f∈[0，T]．的倒向随机微分方程并且证明了在一定条件下，该方程存在唯一的一对适应解，并由此创造性的提出了一类可以定义条件期望的非线性数学期望—g-期望：εgT[ξ]=y0．后来这一成果引起广大学者的重视，并被应用于金融，经济和数学其他分支。作为一种非线性数学期望，g-期望对一般的随机变量不满足可加性。我们知道，某些非线性数学期望对一些特殊的随机变量满足可加性，如最小期望对仿射相关（affinely ralated）的随机变量可加，但是g-期望可加的条件比较苛刻，对仿射相关的随机变量一般也不满足可加性，那么很自然的想到可否能限定g的条件使得g-期望对仿射相关的随机变量可加?这即是本文研究的主要问题。考虑1维情形，当g不含随机项时，g（y，z，t）：R2×[0，T]→R1本文就是否要求“对任意（y，t）∈Rm×[0，T]，有g（y，0，t）=0”（即文中（A3））研究了g-期望对仿射相关随机变量的可加性问题。其基本思想为：若g-期望满足正齐次性和平移不变性，则g-期望对仿射相关随机变量可加；而在（A3）下，g与y无关时g-期望满足平移不变性，g关于z正齐次时g-期望满足正齐次性，于是我们猜想在（A3）下是否g与y无关且关于z正齐次就是g-期望对仿射相关随机变量可加的条件。本文对此给出了肯定的回答并指出这是g-期望对仿射相关随机变量可加的充要条件（第三章定理3．1．1）．定理0.1设g满足（A1）-（A3），若εg[·]对L2（Ω，FT，P）中所有仿射相关的随机变量都具有可加性（即若ξ，η∈L2（Ω，FT，P）是仿射相关的，则必有εg[ξ+η]=εg[ξ]+εg[η]），则g具有形式g=μt|zt|+v（t）zt，（0.1）其中胁μt，v（t）)是[0，T]上的连续函数；反之，若g具有（0.1）式的形式，则εg[·]对L2（Ω，FT，P）中所有仿射相关的随机变量都可加。我们知道，（A3）是个很强的条件，例如当我们将倒向随机微分方程理论应用于期权定价时。我们发现在此时生成元g不一定满足g（y，0，t）≡0，所以本文进一步研究了不要求（A3）时g-期望对仿射相关随机变量可加的充要条件（第三章定理3.1.2）。定理0.2设g满足（A1）-（A2），若εg[·]对L2（Ω，FT，P）中所有仿射相关的随机变量都具有可加性，则g具有形式g=μt|zt|+v（t）zt+v′tyt（0.2）其中μt，v（t），v′t是[0，T]上的连续函数；反之，若g具有（0.2）式的形式，则εg[·]对L2（Ω，FT，P）中所有仿射相关的随机变量都可加。在此基础上我们比较了具备上述形式的g-期望和最小期望的异同，指出了g-期望不能包容最小期望。（上述结果已被《山东大学学报》（理学版）接收。）最后我们将上述结论推广到条件g-期望，得到了与定理0.1和定理0.2类似的结论，并研究了g-期望对仿射相关随机变量可加与条件g-期望对仿射相关随机变量可加的关系。
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标签：倒向随机微分方程论文; 期望论文; 仿射相关论文; 可加性论文;