论文摘要
本文主要研究代数体函数的Puiseux级数表示问题.代数体函数是由不可约方程所确定的ν值解析函数, A j（ z ）（ j = 0,1, ,ν）是z的全纯函数,并且不在一点同时为零.当A j（ z ）（ j = 0,1, ,ν）都是多项式时对应的是代数函数.所谓Puiseux级数,也称为分数幂级数,它不仅用于代数函数的求解,而且在微分方程的求解等方面有着广泛的应用[3].何育赞在《代数体函数与常微分方程》[1]中曾对代数体函数的分数幂级数表示作了“定性”的讨论,他指出:对于z 0∈C（ z 0可以是临界点也可以是非临界点）得到了由方程（ ? ）所确定的ν值代数体函数的l个代数函数元素其中且∑=.特别地,当λj= 1就是v个单值分支.捷波塔辽夫在《代数函数论（下册）》[2]中列举特例（荣格）利用牛顿图法给出了它的分数幂级数表示.本文将以牛顿图为工具给出代数体函数的分数幂级数表示的一般方法,然后利用代数体函数的分数幂级数表示来探讨代数体函数临界点的一些性态,从而深化了[1]和[2]中的结果.我分以下几节来阐述:第一节,给出了本文要用到的代数体函数的一些相关概念和一些基本结果.第二节,讨论了代数体函数分数幂级数表示的一般方法,即若给出具体的系数函数A j（ z ）（ j = 0,1, ,ν）如何求出w （ z ）的分数幂级数的指数和次数,又分以下几个步骤:第一步,设w （ z ）=αzε+α′zε′+ ,ε<ε′<ε′′< ,将A j（ z ）（ j = 0,1, ,ν）表示成标准的幂级数,代入方程（ ? ）然后用牛顿图法求出各个分数幂级数展开式.第二步,证明在求得的分数指数ε,ε′,ε′′,中它们是逐渐增大的,而且它们的公分母都是有限数.第三步,用牛顿图法所得到的按照z的分数次幂排列的级数在z 0的足够小的邻域内收敛.第三节,举例说明代数体函数的分数幂级数表示在研究其临界点性态中的应用.