论文摘要
碰撞振子是非光滑动力系统中一类重要模型,本文讨论弹性碰撞振子的动态行为,主要考虑带权位势超线性碰撞振子的碰撞解。文章分两部分:带定号权位势超线性碰撞振子的周期碰撞解的存在性;带变号权位势超线性碰撞振子的周期碰撞解的存在性。 对于周期解的存在性证明,我们引进新的坐标变换把右半平面上的碰撞问题转化到整个平面上,且将碰撞系统转化为与之等价的新的系统,通过证明新的系统周期解的存在性来得出原问题周期解的存在性。 在定号位势碰撞解的讨论中,通过对新的系统的解在新的相平面上的定性分析,可以证明系统的Poincaré映射具有边界扭转性质,再利用Poincaré-Birkhoff扭转定理得到了带定号权位势超线性碰撞振子的无穷多个ω-周期碰撞解的存在性。 在变号位势碰撞解的讨论中,通过对某类特定的解的初始点集在平面上的拓扑性质的分析,将周期解的存在性问题转化为某种“不动点”的存在性问题来解决。在证明存在不动点的过程中,一个拓扑引理的应用起了很大的作用。通过这种方法,我们可以得到碰撞振子的无穷多个ω-周期碰撞解的存在性。
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