顶点算子代数的模范畴

论文摘要

顶点算子代数，有时简称为顶点代数，是共形场论和统计力学中至关重要的代数结构，是量子场论代数结构的严格化.顶点算子代数的模是研究顶点算子代数结构和性质的重要方法和有力工具，而同调代数是研究代数结构的全新方法，本文利用同调代数方法研究顶点算子代数的模，得到了一些结果：在第三章，我们证明了顶点算子代数V的模构成一个范畴，其对象就是V -模，态射是两个V -模之间的V -模映射；进一步，我们证明了，V的模范畴VM中存在0对象（0模），任意两个对象（V -模）存在直和，任意两个对象A;B之间的态射全体Hom（A;B）构成一个Abelian群，态射（V -模映射）的复合满足双边分配律，从而VM是一个可加范畴；构造出了VM中任一态射的核与余核，进而证明了VM是一个Abelian范畴.给出了判定顶点算子代数的模是不是projective模的方法；同时证明了顶点算子代数的模范畴是projective enough的.在第四章，我们给出了顶点算子代数模的上同调的有关概念，计算出了与秩为一的正定偶格相对应的顶点算子代数的低阶（0或1）上同调群（模）.利用第三章的结果，我们可以引入V的平凡模C的projective resolution，Hom函子的右导出函子，从而得到以某个V -模为系数的V的上同调群.此外，我们还利用E.Frankel [49]的结果，通过顶点算子代数所确定的李代数模来计算以某个V -模为系数的V的上同调群，计算出了由秩为一的正定偶格所对应的顶点算子代数所确定的李代数运算关系（Fourier系数的换位运算关系），进而计算出了该顶点算子代数的低阶（0或1）上同调群.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 第二章 预备知识
• 2.1 同调代数
• 2.2 李代数及其上同调
• 2.2.1 李代数及其泛包络代数的模
• 2.2.2 Ext 函子
• 2.2.3 Tor 函子
• 2.2.4 李代数的上同调
• 2.3 顶点算子代数及相关的代数理论
• 2.3.1 顶点算子代数及顶点算子代数模
• 2.3.2 Heisenberg 李代数及其Fock 表示
• 2.3.3 格顶点算子代数
• 第三章 顶点算子代数的模范畴
• 3.1 V -模范畴是Abelian 范畴
• 3.2 顶点算子代数模范畴是Projective Enough 的
• 3.3 本章小结
• 第四章 顶点算子代数的上同调
• 4.1 由VOA所确定的李代数
• 4.1.1 李代数U'（V ）和U（V ）
• 4.1.2 U（V）和U（V ）
• 4.2 顶点算子代数的上同调
• 4.2.1 光滑V 模范畴
• 4.2.2 顶点算子代数上同调的定义
• 4.3 正定偶格上的顶点算子代数
• 4.4 秩为一的偶格顶点算子代数
• 4.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间的研究成果
• 致谢