相对同调维数及其应用

论文摘要

二十世纪五十年代中期,Serre, Auslander和Buchsbaum证明了一个交换Noether局部环是正则的当且仅当每个有限生成模的投射维数都是有限的。这一结果的出现开启了利用同调不变量来研究交换代数的新篇章。到了上二十世纪六十年代后期,Auslander又找到了一种新的同调维数—Gorenstein维数来研究交换代数和代数几何中另一类重要的环—Gorenstein环以及该类环上模范畴的同调性质。这种同调维数的引进事实上就是Gorenstein同调代数的起源。从此以后,通过各种不同的同调维数来研究相应模范畴的同调性质就成为了交换代数和同调代数的一个很有意义的课题。受此思想的影响,本文在前人工作的基础上研究了一些新的同调维数。全文共分四章,具体内容如下：第一章是引言,简单地介绍了本文的基本结果和预备知识。第二章给出了一个半对偶化模成为对偶化模的五种新的等价条件,其中前两个结论分别改进了Takahashi等人和Christensen的结论,而紧接着的两个结论可分别看作是Jenda和Xu的定理的推广,最后一个定理则提供了locally Gorenstein环的一个新刻画。第三章主要是研究Cohen-Macaulay内射维数与广义局部上同调。我们证明了一个关于广义局部上同调的新的消去定理。该定理不仅可以用来刻画正则环和Gorenstein环,而且可以给出一个环成为Cohen-Macaulay环的充分条件。这个条件部分回答了Takahashi [57]的公开问题：如果R是一个交换Noether局部环并且存在一个具有有限Gorenstein内射维数的非零模,那么R是否一定是Cohen-Macaulay环?第四章则把重心转移到非交换环上,通过引入一类新的模一强极大平坦模及其相应的同调维数,我们证明了这类模和其右Ext正交类形成一个完全和遗传的余挠对。该结果有助于我们找到对于右SF、半单、左完全、von Neumann正则和quasi-Frobenius环的新刻画。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• Chapter 1 Preface
• 1.1 Main results
• 1.2 Symbols
• 1.3 Notions
• Chapter 2 New characterizations of dualizing modules
• 2.1 Introduction
• 2.2 Characterizing dualizing modules globally
• 2.3 Characterizing dualizing modules locally
• Chapter 3 Cohen-Macaulay injective dimension
• 3.1 Introduction
• 3.2 Vanishing of generalized local cohomology
• 3.3 Applications
• Chapter 4 Strongly max-flat modules
• 4.1 Introduction
• 4.2 The cotorsion pair generated by strongly max-flat modules
• 4.3 Rings characterized by strongly max-flat and strongly max-cotorsion modules
• REFERENCES
• Papers completed during my PhD program
• 个人简历
• 致谢