逻辑代数中若干问题的研究

论文摘要

多值逻辑与当今的一些前沿学科如模糊控制，人工智能，神经网络和计算机科学等有着密切的联系．不同的多值逻辑系统对应着不同的多值逻辑代数．著名逻辑学家C．C．Chang于1958年提出了与Lukasiewicz逻辑系统相配套的MV代数理论．此后，为尝试给模糊推理提供各种可能的逻辑体系，许多学者陆续提出了各种不同的代数体系，比如，吴望名教授提出了Fuzzy蕴含代数，徐扬教授提出了格蕴含代数．1997年，王国俊教授基于对模糊逻辑与模糊推理方面存在的问题的分析，提出一种新的形式演绎系统-（?）*系统和与之相匹配的多值逻辑代数-R0代数，随着研究的不断深入，（?）*系统的完备性以及R0代数自身的完备性都已经得到了证明，并取得了丰硕的成果．在逻辑推理系统和逻辑代数系统的研究中，滤子与理想都是重要的概念，许多专家学者都在此方面作了一定的研究，本文以已有的成果为基础进一步研究多值逻辑代数中滤子与理想及子代数的性质．全文内容共分5章，第1章是预备知识，首先给出了后面所要用到的格论的初步知识，其次介绍了几类逻辑代数系统及它们所具有的性质．第2章首先在MV代数中根据伴随对（*，→）的定义，由二元运算*引入了*滤子的概念，证明了*滤子即是通常意义下的滤子，同时也研究了*滤子的简单性质；其次在关于Lukasiewicz系统的Lindenbaum代数F（S）／～中定义了*滤子，利用格论的相关知识，对公式子集D（Γ）进行研究，得到的主要结论是（1）Luk-Lindenbaum代数F（S）／～中的*滤子都是<D（Γ）>形式的，（2）*滤子与MP滤子一致，都是通常意义下的滤子，反之不成立，（3）F（S）／～中的极大*滤子与通常意义下的极大滤子是一致的．第3章结合Fuzzy集与逻辑代数中理想的性质在BR0代数中引入了Fuzzy理想、Fuzzy素理想的概念，讨论了BR0代数的Fuzzy理想和Fuzzy素理想的若干性质，给出了BR0代数的Fuzzy集是Fuzzy理想的充要条件，证明了Fuzzy理想和Fuzzy素理想在BR0代数同构下的不变性．第4章首先结合Fuzzy集与逻辑代数中子代数和MP滤子的性质在R0代数中引入了Fuzzy子代数、Fuzzy关联MP滤子的概念，给出了R0代数的Fuzzy集是Fuzzy子代数的几个等价刻画，讨论了R0代数的Fuzzy关联MP滤子的若干性质，证明了Fuzzy子代数（Fuzzy关联MP滤子）在R0代数同态（同构）下的不变性；其次讨论了R0代数中理想、素理想的基本性质，在R0代数M的全体理想集I（M）上定义了格运算，证明如此定义的格是有界分配格．然后在M的全体素理想之集PI（M）上构造了拓扑，证明了PI（M）是紧致的T0空间．在第5章中，与二值命题逻辑系统L中公式的真度概念相对应，给出了系统L中公式的矛盾度概念，研究了其部分重要性质．在此基础上将逻辑等价概念程度化，并给出了矛盾度的一种升级算法．进一步在L的全体公式集F（S）上定义了公式之间的差异度概念ρ，证明了差异度ρ即是F（S）上的伪距离，并讨论了伪距离空间（F（S），ρ）的一些性质．

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 前言
• 第1章 预备知识
• 1.1 偏序集与格
• 1.2 逻辑代数
• 第2章 MV代数中的*滤子
• 2.1 预备知识
• 2.2 MV代数中的*滤子
• 2.3 Luk-Lindenbaum代数中的*滤子
• 2.4 本章小结
• 0代数的Fuzzy理想与Fuzzy素理想'>第3章 BR₀代数的Fuzzy理想与Fuzzy素理想
• 3.1 预备知识
• 0代数的Fuzzy理想'>3.2 BR₀代数的Fuzzy理想
• 0代数的Fuzzy素理想'>3.3 BR₀代数的Fuzzy素理想
• 0代数的Fuzzy子代数与Fuzzy关联MP滤子'>第4章 R₀代数的Fuzzy子代数与Fuzzy关联MP滤子
• 0代数的基本概念与性质'>4.1 R₀代数的基本概念与性质
• 0代数的Fuzzy子代数'>4.2 R₀代数的Fuzzy子代数
• 0代数的Fuzzy关联MP滤子'>4.3 R₀代数的Fuzzy关联MP滤子
• 0代数中素理想的拓扑空间'>4.4 R₀代数中素理想的拓扑空间
• 第5章 二值命题逻辑系统中命题的矛盾度理论
• 5.1 预备知识
• 5.2 系统L中公式的矛盾度理论
• 5.3 矛盾度的一种升级算法
• 5.4 系统L中公式之间的伪距离
• 结论
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间科研成果