论文摘要
本文主要对多元样条与分片代数簇计算展开若干研究。一方面,我们对多元样条函数在数值分析中的若干应用进行了讨论,主要包括二元样条在有限元,二维奇异积分的计算,以及近似隐式化中的应用。另一方面,我们讨论了分片代数簇计算的某些问题,主要包括零维分片代数簇的区间迭代算法和实根分离算法。主要工作如下:首先,我们讨论了二元B-样条有限元方法。在有限元方法中,多元样条函数主要用来构造各种类型的模型函数。本章我们主要构造了一类均匀（非均匀）2-型三角剖分下的二元样条基函数组用以插值于边界函数,并且结合均匀（非均匀）2-型三角剖分下带齐次边界条件的样条空间S21,0(△mn2),利用有限元方法来求解椭圆型偏微分方程;而后,我们研究了二元样条函数在二维奇异积分中的应用。近年来国内外许多学者都采用多元样条函数来求解数值积分。特别地,拟插值算子常被应用于各种奇异积分,包括Cauchy主值积分和有限部分积分以及振荡积分的计算上。它们在奇异积分方程的求解中有着重要的应用。由于2-型三角剖分下的二元B-样条基函数具有结构简单,对称性好,并且具有良好逼近性质的拟插值算子,因此它在实际应用中有广泛的应用。本章我们利用均匀2-型三角剖分下样条空间S42,3(△mn2)上的两类具有良好逼近性质的拟插值算子,构造了具有更高精度的数值积分公式并且将其应用到Hadamard有限部分和的计算上。然后,我们讨论了三次代数样条在参数曲线近似隐式化中的应用。由于参数曲线曲面的精确隐式化不一定可以实现。即使可以实现,许多情形下我们也不必这么做。这主要由于精确隐式化的计算很复杂并且系数很大,以及隐式曲线曲面具有不希望的自交奇异点和多余分支。这就引起了计算的不稳定性和几何造型中拓扑结构的不一致性,从而大大限制了隐式化在实际问题中的运用。与三次参数曲线类似,三次代数曲线成为人们广泛研究和应用的代数曲线。因此,我们构造了整体G2-连续的三次代数样条来逼近参数曲线以实现近似隐式化。最后,我们讨论了分片代数簇计算中的某些问题。分片代数簇作为多元样条组的公共零点集合,是经典代数簇的推广,丰富和发展。它不仅和许多实际问题如多元样条插值,代数簇的光滑拼接,CAD和CAGD等有关,而且还为研究经典代数几何提供了理论依据。CAGD中大量的曲线曲面类型是样条曲线曲面。因此给出样条曲线曲面的求交算法是CAGD中的重要问题之一,而这一问题的本质可以归结为分片代数簇的计算。因此,研究分片代数簇的计算是十分重要的。针对分片代数簇的计算,我们做了以下两方面的工作:一方面,我们讨论了任意剖分下分片代数簇的区间迭代解法,主要将代数簇的区间迭代算法有效应用到分片代数簇的计算上。该算法主要通过引入ε-偏差解和给出区域内极值的有效估计来实现。另一方面,我们给出了零维分片代数簇实根简单而有效的分离算法。该算法主要基于凸多面体内代数簇的计算和一元区间多项式实根的计算来实现。