论文摘要
数学是自然科学的语言，用来描述各类纷杂的现象，解决现实生活中的问题．而达到这个目的，提炼出数学模型是重要的一步，却不是最后的一步．由于观察误差或者学科发展有限，所提出的模型往往具有非规范性和复杂性．微分方程在实际中有着广泛的运用，凡是与变化率有关的问题几乎都可以用微分方程模型来研究．为了弄清一个实际系统随时间变化的规律，需要讨论微分方程解的性态，通常有三种主要的方法：(1)求出方程的解析解(包括级数形式的解)；(2)求方程的数值解；(3)对解的性态进行定性分析．而微分方程中又是不连续的情况占大部分．在机械系统中，静摩擦力、挤压力、后冲力和电路环形中两极真空管元素等物理学现象，在生活中随处可见．把此类问题抽象成数学模型，均具有某种类型的不连续性．力学系统里静摩擦力瞬间变成动摩擦力的情况下，所对应的微分方程也是不光滑的．小球碰撞到地面的瞬间，也可抽象成分片光滑的数学模型．分片光滑函数还常可见于生物系统或者电子电路的模型转换中，在控制理论中也随处可见．为了解决此类分片光滑微分方程，引入了微分包含的概念．基于此，在误差允许的范围内，把模型转换成更理想化的或者更规则的模型．结果证明，仍然很有现实意义．物体不同运动状态之间的转换，对应在数学模型中就是分片光滑的动力系统．从数学观点来看，解决此类分片光滑微分方程的方法有多种．例如，微分包含方法，它不仅针对分片光滑常微分方程的解给出一种新的定义，而且给出了解存在和唯一的条件．本文的研究对象是分片光滑常微分方程中一类与间断线横截相交的解，对其采用的数值计算方法是文章的主要内容．具体地说，解以一个光滑区域内的某点为初值，在向量场的作用下开始运动，在有限时间内到达间断线，随即穿过间断线，在向量场的作用下进入另一个光滑区域继续发展．我们将构造适当的数值计算方法，跟踪具有如此性质的解．首先，构造数值计算方法、用以计算解在一个光滑区域内发展的过程中何时、及在何处到达间断线，然后再继续跟踪解在另一个光滑区域内的发展．