论文摘要
目前,随着高性能计算机的迅速发展,大规模的科学与工程计算已广泛应用在多个领域.由于计算机浮点运算不可避免的存在舍入误差,使得在进行大规模、大尺度、长时程的科学计算时或极端病态问题时,舍入误差的不断积累最终可能导致数值结果严重失真.因此,研究高精度、误差可控的数值计算方法成为当前计算数学领域的一个重要问题.在现代工业和科学领域,计算机辅助几何设计扮演着一个重要的角色. Bernstein基多项式是其中一个基本但非常重要的多项式,对Bernstein基多项式的函数值和导函数值的高精度算法和相应的数值结果误差精度分析的研究具有重要意义.本文利用无误差变换技术,对Bernstein基多项式函数值的高精度算法进行了动态误差分析研究,进而设计了Bernstein基多项式k阶导函数值的高精度算法,并进行了动态误差分析研究.主要内容如下:针对多项式函数的高精度计算问题,科研工作者往往在希望在得到数值结的同时能够给出数值结果的可靠误差界,以判断数值结果的可靠性.本文通过对Bernstein基多项式的高精度补偿算法的动态误差分析研究,得到其在计算某特定点时,算法的数值结果的误差与一个以算法计算过程中的舍入误差的绝对值为参数的Bernstein基多项式的关系,给出了动态误差界定理,设计了带有动态误差界的高精度补偿算法,数值实验表明,与已有算法相比,本文算法更高效、高精度.对Bernstein基多项式k阶导函数值的高精度计算问题,利用无误差变换技术,给出了求Bernstein基多项式k阶导函数系数的差分运算的补偿算法,构造了Bernstein基多项式k阶导函数值求解的高精度补偿算法,并给出了整体误差界定理.为了对数值结果的可靠性提供更高的保障,对算法进行了动态误差分析,得到在实际计算时更精确的误差界,给出了动态误差界定理和算法,并通过数值实验验证了算法的有效性.
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