脉冲与时变生态模型的解的周期性及渐近性

论文摘要

生物数学中以生物动力系统为基础的研究近年来得到了长足的发展,其中以微分方程为模型的研究工作主要集中在连续动力系统和脉冲动力系统上。数学模型在研究过程中不断演化以期更能真实地反映客观事实,其中连续生物动力系统是过去几十年的研究方向,在人们发现很多影响生态系统的因素因为时间、季节或者早晚的不同而不同时,便将自治系统改进为非自治(时变)系统以使模型更为真实。与此同时人们又发现自然界许多生命现象以及人类的一些行为如动物的季节性生育、人类的放养捕捞等用连续系统无法精确描述,而脉冲微分方程可以相对较为真实的刻画这些相对短暂的现象和行为,这使得脉冲微分方程的研究和应用得到了越来越多学者的关注。本文研究的基于不同应用背景的三个生态模型分别属于上述的时变和脉冲微分方程。 周期性是自然界和人类社会中普遍存在的现象,在周期性的环境因素或是人为外力以及系统自身内在因素的作用下这些系统都将呈现出一定的周期性。本文系统的研究了所给出的脉冲生态模型和时变生态模型的解的周期性、渐近性,并结合数值模拟的手段探讨了在这些模型中可能存在的复杂性。本文主要内容可概括如下: 第二章以农业生产中的害虫综合治理为应用背景,对原有的基于状态依赖脉冲微分方程的害虫控制模型进行了改进,增加了原系统中害虫发展的密度制约项,使得模型能更为客观地反映实际情况,但系统也因此变的较为复杂,由原来的可求解方程变为不可求解方程。本文在无法求得显式解的情况下利用构造脉冲半动力系统的不变集以及Brouwer不动点定理得到了改进后模型在几种情况下的阶一周期解(一周期内仅有一次脉冲)的存在性定理,并利用数值分析的方法讨论了阶一周期解的吸引性以及系统的无脉冲正向不变集合。本章最后简单讨论了此模型在农业生产中对害虫综合治理的生物意义。 第三章考虑了一类具有非线性传染力函数的传染病模型,其中人口出生率和死亡率相同并且患病者病愈后可自然获得免疫但一段时间后免疫力也会自然丧失。模型中我们还考虑了为控制疾病的流行而采取的人工免疫接种的因素。本章研究了连续免疫接种方式和脉冲免疫接种方式对流行病的控制作用,对连续免疫接种方式的系统给出了其再生数。另外还讨论了脉冲控制的三种脉冲接种方式即比例型、常数型和第二型常数脉冲,分析研究了这三个系统的边界周期解(疾病消除周期解)的局部稳定性和全局吸引性,进而得到全局稳定性的条件,以此探讨脉冲免疫对疾病控制所起的作用。另外,本章在理论分析较为困难的前提下利用数值模拟的手段发现脉冲使原无受迫系统的周期解变得

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 符号表
• 第一章 引言及预备知识
• §1.1 脉冲半动力系统
• §1.2 脉冲微分方程的基本定理
• §1.3 齐次线性周期脉冲微分方程的Floquet理论
• §1.4 一类特殊函数的定义和其性质
• §1.5 本文用到的一些定理
• 第二章 害虫治理的状态依赖脉冲微分方程
• §2.1 生物背景及模型的建立
• §2.2 平面自治脉冲微分方程阶一周期解的存在性定理
• §2.3 治理害虫的状态依赖脉冲微分方程的解的周期性
• §2.4 系统的不变集和周期解的渐近性的数值分析
• §2.5 生物结论及意义
• 第三章 具有非线性传染力和免疫接种的传染病模型
• §3.1 模型的背景
• §3.2 连续免疫接种模型
• §3.3 按比例的脉冲免疫接种模型
• 3.3.1 模型的建立
• 3.3.2 无病周期解的渐近性质
• 3.3.3 系统复杂性
• §3.4 常数脉冲免疫接种模型
• 3.4.1 模型的建立
• 3.4.2 有界性及边界周期解的性质
• 3.4.3 系统的复杂性
• §3.5 第二型常数脉冲免疫接种模型
• 3.5.1 模型
• 3.5.2 无病周期解的性质
• §3.6 生物结论
• 第四章 两种群非自治的阶段结构种群动力学
• §4.1 阶段结构模型介绍
• §4.2 非自治竞争的两种群阶段结构模型
• 4.2.1 模型的建立
• 4.2.2 持久性
• 4.2.3 周期解的存在性和渐近稳定性
• 4.2.4 例子及图示
• §4.3 非自治捕食的两种群带消化时滞的阶段结构模型
• 4.3.1 模型的建立
• 4.3.2 持久生存性
• 4.3.3 周期解的存在性
• 4.3.4 例子及图示
• §4.4 生物意义
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 创新点摘要
• 致谢
• 大连理工大学学位论文版权使用授权书