在“变化”中提高高三数学复习效率
陈祖朝
摘要：在高三复习中，教师应该进行多“变”练习，通过多“变”练习，使学生深刻理解所学知识，识别问题的本质。
关键词：多“变”；练习；本质
作者简介：陈祖朝，任教于广西贺州第二高级中学。
目前的高三数学复习比较普遍的情况是教师先给出本章、本节的知识点、解题方法、解题思想，然后是习题训练，练了讲，讲了练，不断地重复类似的题目。考试时遇到熟悉的题目，一挥而就，成绩突出，但一旦题目发生一点变化，就会手忙脚乱，最终成绩惨不忍睹。
要解决这个问题，笔者的方法是在高三复习中进行多“变”练习，通过多“变”练习，使学生深刻理解所学知识，识别问题的本质，这样运用起来就会得心应手，高考时立于不败之地。
一、多角度研究、辨析定义
我们要研究一个新事物，首先要对此事物下一个定义，描述出它具的本质属性。数学定义是数学基础知识的核心，是打开数学殿堂的钥匙，所以要想学好数学，首先要学好定义，清楚、正确地理解定义所描述的本质属性以及定义的外延、深化。数学定义有别于其它数学知识，它不仅要求学生要识记其内容，还要能灵活运用它来解决相关的实际问题。
定义复习课的重点应放在分析定义和运用定义上，通过正面理解、反面理解，定向、逆向的关系，正确描述、错误描述，正确运用、错误运用及拓展应用等多角度研究、辨析定义，使学生真正掌握和运用定义，遇到有迷惑必的问题时能抓住本质，不会被问题的枝枝节节所迷惑。
例如，在进行“直线的斜率”这个定义复习时，可先给出“斜率”的定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值等于这条直线的斜率。要强调定义中的两要点：倾斜角不能是，倾斜角的正切值。然后给出如下问题，以明确直线的斜率与其相关概念的逻辑关系，从而使学生能掌握斜率这个定义。
判断下列语句的对或错，并说明理由：
问题1：所有直线都有倾斜角，所有直线都有斜率。(定义的正反理解)
此问题能让学生认识到：倾斜角为的直线无斜率，斜率是有限制条件的定义，使用时要注意。
问题2：直线的斜率为，则此直线的倾斜角为。(逆向辨析)
此问题能让学生明白：直线的斜率和直线的倾斜角不是一一对应的，在由斜率求倾斜角时，要注意角的取值。
问题3：若直线的斜率，则其倾斜角的取值范围是。(定义错误运用)
此问题是上一个问题的具体例子，能使学生更进一步理解直线的斜率与倾斜角的关系。
问题4：求过点且与圆相切的直线的方程。(定义的应用)
有的学生在解这个题目时只得到一条直线，会忽略了直线的斜率不存在时情况。
通过这组练习，学生可深刻理解直线的斜率这个概念及其与倾斜角的关系和运用斜率时应注意的问题。
二、善用公式定理法则
高中有很多可直接用来解题的结论，如公式、定理、法则等，若能善用这些结论可优化解题过程，提高解题的准确性和学习效率。
数学定理是反映数学对象的属性之间的关系的真理。每一个定理，都有其适用的范围，许多定理都可以变形使用，推广使用。对定理进行复习时，首先要分清定理的条件和结论，并掌握其适用范围，如果对于数学定理的条件与结论模糊不清，一知半解，就会导致思维混乱，结果错误；其次对所学的定理，要从不同的角度，不同的方面去分析，去思考，对于一个定理，应写出它的逆命题，并判断是否成立，由于普遍性的规律寓于具体的事物中，因此我们在证明一个定理后，应该探究此定理能否推广。
公式、法则是指用数学符号表示几个量之间关系的式子。任何一个公式总是反映一类关系，因此首先应该明确对象的类型，然后弄清公式结构公式的特征，在此基础上还要熟悉公式的变形以及逆用和推广应用。
在复习公式、定理、法则时，不必对公式、定理、法则进行证明，重在通过辨析、变式、推广和运用解题，达到理解、掌握及熟练运用的目的。
例如，在复习平面上点与圆的位置关系教学中，可先简单说明下面的结论：圆的标准方程是:,当点在圆上时,有；当P在圆内时,则；当在P圆外时，。
此性质学生容易理解，不用过多解释，直接应用也没有问题，接下来是对结论的探究、推广。
推论1：椭圆的标准方程是:，点在椭圆上时,则；在椭圆内时,；点在椭圆外时,则。
推论2：当焦点在双曲线的标准方程是:，在双曲线上时,有；在双曲线内时,；在双曲线外时,。焦点在轴上,也有同样的性质。
推论3：焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为,点在抛物线上，则；在抛物线内部,；在抛物线外部,则,。焦点在其它坐标轴的半轴上的抛物线的标准形式也成六。
定理公式法则等结论的变形还要体现其实用的价值，从而提高定理公式的应用效能。
又例如，复习公式时，除了强调公式本身，还要它的注意使用条件：，同时还要学生掌握其变形使用：（如在求时就要用到它）和灵活运用：。
三、习题多变
我们反对在高考复习中采用题海战术，但是要掌握知识、巩固知识、提高能力又离不开习题，习题是训练学生的思维的材料，是学生掌握数学思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧的载体。高考也是通过题目来反映学生的能力。
科学发展观要求我们以人为本，树立全面、协调、可持续的发展观，促进经济社会和人的全面发展。要落实科学发展观，学校就要以学生为本，让学生能全面、协调、可持续发展，这必需让学生减小学习压力，减少学习时间，提高学习效率。要实现这个目标就得把学生从题海中解脱出来，要让学生从题海中解脱出来，就得利用好习题，通过少量但作用不小的习题训练达到理解、掌握、巩固的目的。要达到这个目的，就要在习题的训练方法上做文章，即所选习题尽可能做到能一题多解、一题多变（变题型，变背景，变条件，变问题）和多题一解，所用习题和习题的变式要涵盖本节所有知识，做完练习后要及时总结，从而加深对定义、定理、公式和方法技巧等基础知识的理解和掌握，同时培养学生的创新能力、应变能力，提高复习效率。
例如，已知，求的最小值。
这是一个用均值不等式求函数求最值问题。复习时可作如下变化探究：
1．变条件，问题不变：已知，求的最小值。
虽然只是对条件作了一个小小的改动，但这一改动，解题方法却完全不同，此题不再能用均值不等式求解，而应用函数的单调性求解。
2．变问题，条件不变：已知，求的最小值。
此题对问题作了改变，但解题的方法没有变，只是要对问题进行一个小小的改造：。
3．变条件，变结论：求函数的最小值。
此题条件变为，问题也变了，解题时先问题进行变形：，然后利用函数的单调性求解。
4．变题型，方法不变：当的不等式恒成立，求实数的取值范围。
此题与原题面目全非，但解法一样是用均值不等式，即=的最小值。
5．一题多解：求函数的值域。
解法1：分和两种情况，用均值不等式求解。
解法2：用函数的单调性求解。
解法3：整理成，利用根判别式求解。
解法4：用图像法求解。
由此可见，一道习题，可变化出多道习题，使学生的各方面的能力都得到培养、发展。
改变题目的条件，而问题不变，给学生提供在不同情况下探求同一问题的不同解决方法，激发学生的探求欲望，提高分析问题、辨别问题的能力，提高解题能力和效率。
题目的条件不变而改变问题，有利于培养学生处理问题的能力和化归能力。使学生敢于面对新问题并能把新问题通过分解、变通转化为已解决的问题，从而能轻松解决。同时题目的条件不变而改变问题，有利于知识、方法的巩固，做到熟能生巧，提高解题速度。
变条件，变问题，能培养学生对原始信息资料进行归纳、整理和分类，培养学生在陌生的环境和出现的新问题中处变不惊的能力，提高学生灵活和综合地运用所学的数学知识、思想和方法的能力。
变题型而不变解题方法，能使学生巩固和熟练运用解题思想、方法、技巧，培养学生在不同的条件下、不同的环境中抓住问题的本质的能力，培养学生成竹在胸、从容不迫的大将风度，提高学生的心理素质。
一题多解能培养学生思维的灵活性，培养学生运用新观点，从多用度去思考问题和解决问题，打破思维定势，为关键时刻能选择最好的解题方法，优化解题过程，达到最高的效率，同时能锻炼学生思维能力。
通过这样的习题训练，让学生摆脱“题海”变被动思维为主动自觉思维，让学生成为学习的主人，从而提高数学课堂教学效率，减小差生面，培养学生处理纷繁多变的能力，熟练掌握解题思想、方法、技巧，从而提高复习效率。
学生在变化中，多角度研究、体会知识，这样更容易理解和掌握知识，同时学生各方面的能力都得到培养、提升，高考时无论试题如何变化，都能从容应对。
作者单位：广西贺州第二高级中学
邮政编码：542800
ImprovingtheEfficiencyofGradeThreeMathematicsReviewby“Changes”
ChenZuchao
Abstract:Ingradethreeofseniorhighschool,teachersshouldimplementmore“change”exercises,sothatstudentscanunderstandacquiredknowledgeandidentitytheessenceofproblemsbymore“changes”.
Keywords:more“changes”;exercises;essence