时谐电磁场问题共轭梯度法三角阵预处理器的研究

论文摘要

电磁散射问题的分析是一个具有广泛应用前景的研究课题,这类问题通常有积分和微分两种数学表述形式。以数值方法求解大规模问题时,需综合考虑离散后线性方程组未知量的数目与矩阵非零元素的稀密性质。一方面,从微分方程出发的数值解法,可在存储量方面具有一定优势。另一方面,所得高阶稀疏矩阵的稀疏性又适合于采用共轭梯度法(CGM)迭代求解,降低每次迭代的计算量。但是,共轭梯度法求解这类高阶矩阵向量方程时,其收敛缓慢。于是研究合适的预处理器成为高效率地数值求解电磁散射问题的关键课题,这也成为近年来计算电磁学界的研究热点之一。本文利用对应微分运算的差分运算矩阵,提出了差分求解Helmholtz方程的三角阵预处理器,并强调提出了在算子离散过程中,构造高效率预处理器的基本思想。正确地选择了分立式预处理器的组合方式。数值结果验证了该预处理器的有效性。这种在离散过程中即考虑预处理器构造的方法可为其他类型的微分方程CGM预处理器的研究提供思路。另外,通过合理分解吸收边界结点的矩阵元素值,使之对应于不同的坐标方向,得到了新的矩阵分解式,从而改善了的三角阵预处理器的加速效果,以减少计算时间,并可适用于不同坐标方向离散间距不相等的情况。数值计算比较了所提方法与常用的不完全LU分解预处理器,结果验证了收敛速度的改进效果和所提技术的适用性。本文研究了频域Mur吸收边界上结点方程系数为不同坐标不均等分解的处理技术,在细节方面改善了三角阵预处理器的效果。所提技术对其它种类的吸收边界条件或截断边界方程系数的处理具有参考价值。文中还将预处理器的构造方法推广到了三维的情况。本文研究结果表明,结合电磁场方程算子构成细节构造离散方程矩阵的预处理器,比直接利用现有通用预处理技术具有更好的效果;对离散截断边界方程的系数作合理的近似处理,有助于充分发挥预处理器的处理效果;本文工作也在一定程度上验证了三角阵预处理器对于电磁场问题所具有的较强适应性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 应用与学术背景
• 1.2 常见预处理器
• 1.3 本文的主要贡献
• 第二章 基本理论
• 2.1 HELMHOLTZ 方程
• 2.2 有限差分法基础
• 2.3 吸收边界条件
• 2.4 解线性方程组的共轭梯度类方法
• 2.5 本章小结
• 第三章 HELMHOLTZ 方程的三角阵预处理器
• 3.1 离散求解模型
• 3.2 预处理器的构造方法
• 3.3 二维预处理器的构造步骤
• 3.4 存储量和计算量分析
• 3.5 左右预处理器组合的选择
• 3.6 数值结果
• 3.7 本章小结
• 第四章 截断边界的预处理技术
• 4.1 吸收边界结点系数的分解
• 4.1.1 区域内结点
• 4.1.2 吸收边界结点
• 4.1.3 角点
• 4.2 数值结果
• 4.3 预处理器适应性扩展
• 4.4 与ILU 预处理器的比较
• 4.5 三维问题的扩展
• 4.5.1 三维预处理器构造
• 4.5.2 三维 Mur 吸收边界结点的系数分解
• 4.6 本章小结
• 第五章 总结与展望
• 5.1 工作总结
• 5.2 展望
• 致谢
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的论文清单