关于Banach空间中正交性的若干研究

论文摘要

Hilbert空间中的正交性理论是泛函分析的重要内容论之一,由正交性引入的正交投影算子、正交基和正交补概念等,不仅丰富了Hilbert空间的理论,而且极好地刻画了Hilbert空间的几何性质。一般Banach空间中的正交性理论是Hilbert空间中正交性理论的自然推广,也是Banach空间理论的重要发展。本文应用空间理论与算子理论的方法,系统研究了一般Banach空间X中的各种正交性概念,研究了它们之间的相互关系,给出了各种正交性的等价刻画。全文分三章,现分述如下。 第一章研究了Birkhoff正交性,它是Banach空间中应用最广泛的一种正交性概念。首先,建立了Banach空间中两个元素的Birkhoff正交性和线性泛函的关系,然后以线性泛函为主要工具,讨论了Birkhoff正交性和Banach空间结构的关系。其次,在特殊的Banach空间l_S~p和C_p中,给出了两个元素Birkhoff正交的充要条件。进一步,我们引入了正交补的概念,讨论了Birkhoff正交补的相关问题。 第二章讨论了Isosceles正交性和Pythagorean正交性,它们都是Hilbert空间中正交性的推广。首先给出Isosceles正交性的性质,揭示了这种正交性与等距算子的密切联系。进而,将问题转化为等距算子来研究。接着引入并研究了Isosceles正交补的有关问题,并由此研究了Banach空间的一些重要几何性质。最后,给出了Pythagorean正交性的一系列重要性质。 第三章研究其它几种正交性问题,讨论Birkhoff正交性、Isosceles正交性与Pythagorean正交性之间的关系,证明了:如果这三种正交性的任一种都蕴含另一种,那么此空间就是内积空间。

论文目录

• 主要符号表
• 前言
• 第一章 Birkhoff正交性
• §1.1 引言
• §1.2 Birkhoff正交性的性质
• p（IF）空间中B-正交性的判定及性质'>§1.3 l^p（IF）空间中B-正交性的判定及性质
• p空间中B-正交性的判定及性质'>§1.4 C_p空间中B-正交性的判定及性质
• §1.5 Banach空间中B-正交性的补
• 第二章 Isosceles正交性和Pythagorean正交性
• §2.1 引言
• §2.2 Ⅰ-正交性的性质
• p（R）空间中Ⅰ-正交性的判定及性质'>§2.3 l^p（R）空间中Ⅰ-正交性的判定及性质
• §2.4 Banach空间中Ⅰ-正交性的补
• §2.5 Pythagorean正交性的性质
• 第三章 Banach空间中正交性之间的关系
• §3.1 引言
• §3.2 R-正交性和其它正交性的关系
• §3.3 B-正交性Ⅰ-正交性和P-正交性的关系
• 总结
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间的研究成果