Level Set算法研究及其在拓扑优化设计中的应用

论文摘要

Level Set方法是在研究曲线以曲率相关的速度演化时提出来的，是描述曲线（或曲面）演化过程的一种新方法。该方法可用于计算和分析依赖于时间、位置、界面的几何性质以及外部物理特性的速度场作用下的界面的并发运动问题（如界面的融合、交叉、断裂等），在图形图像处理、晶体生长、火焰燃烧、计算流体的数值模拟以及计算机视觉和半导体加工等运动界面追踪领域得到了广泛的应用，已经成为处理运动界面追踪问题的主流方法。本文在求解Hamilton-Jacobi方程的粘性解基础上，结合Godunov单调差分格式、本质无震荡插值（ENO）格式、加权本质无震荡插值（WENO）格式和TVD Runge-Kutta积分，给出了Level Set方程的高分辨率的数值求解算法，并成功处理了多维标量双曲守恒律方程及方程组的激波追踪问题以及非反应激波和多介质流中的爆轰间断的追踪问题。在此基础上构造了窄带Level Set算法，并通过修正局部区域边界附近的Level Set函数值，有效地消除了局部区域边界条件的伪振荡问题，但对运动界面的演化趋势不会造成任何影响。在局部求解Level Set函数时，引入了正则化函数c（φ），避免了计算时考虑局部区域边界的问题。论文将这种局部Level Set方法应用于多物质材料界面变形运动上，并与全局Level Set算法进行了计算时间的比较，充分显示了局部Level Set方法的快速性，并揭示应用Level Set方法进行界面追踪时每一步策略的物理和几何本质。另一方面，论文给出了一种基于Level Set方法的结构拓扑优化设计方法，将结构拓扑构形集中在拓扑边界的处理上。通过引入Level Set函数，将结构边界作为零等值线嵌入到高一维的Level Set函数中。这种方法处理拓扑变形非常灵活，并且非常易于描述结构边界的形状，自然地达到结构拓扑优化设计域中孔洞自然融合的目的，是一种渐近型的结构优化方法。在优化迭代过程中，节点上的Level Set函数值被看作是设计变量，并且为了便于微分计算能够正常进行，对Heaviside函数及其导函数做了光滑化处理，选取了一种正则化的Heaviside函数，避免了均匀化方法中出现的振荡现象（棋盘格式），可以平稳地收敛到最终结果。在此算法基础上，论文又提出了一种基于Level Set算法的局部结构拓扑优化设计方法，在灵敏度分析过程中引入窄带思想，以达到减小计算量，进而加快计算速度的目的。通过对数值算例的分析对比，指出了这种局部优化方法在降低计算量方面的局限性，并提出了一种新的修正的结构拓扑优化方法，以达到大规模减少计算量的目的。本文研究工作主要集中在应用偏微分方程数值求解上，发展了一种局部的Level Set方法，并将这种算法用于追踪界面的演化变形过程，构建了包含应力、应变等信息的灵敏度函数，从而实现了结构的拓扑优化设计。数值算例说明了本文方法确实是快速稳健的，具有重要的理论意义与工程应用价值。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 绪论
• 1.1 Level Set方法研究综述
• 1.1.1 Level Set方法概述
• 1.1.2 Level Set方法数值求解技术研究现状
• 1.1.3 快速Level Set方法研究现状
• 1.2 结构拓扑优化设计研究综述
• 1.2.1 结构拓扑优化设计概述
• 1.2.2 结构拓扑优化设计发展现状
• 1.2.3 存在的问题及解决思路
• 1.3 基于Level Set方法的结构拓扑优化设计研究现状
• 1.4 本论文的主要工作
• 第二章 Level Set数值计算实现技术研究
• 2.1 Level Set方法
• 2.1.1 Level Set函数和Level Set方程
• 2.1.2 重新初始化
• 2.1.3 Level Set方法的一般步骤
• 2.2 Level Set方法与距离函数
• 2.3 Hamilton-Jacobi方程的数值解法
• 2.3.1 ENO格式
• 2.3.2 WENO格式
• 2.3.3 TVD Runge-Kutta格式
• 2.3.4 CFL条件数
• 2.4 Level Set方程的数值解法
• 2.5 Level Set应用算例
• 2.5.1 符号距离重新初始化
• 2.5.2 求解标量双曲守恒律方程
• 2.5.3 求解双曲守恒律方程组
• 2.5.4 其它应用
• 2.6 小结
• 第三章 快速Level Set方法
• 3.1 快速Level Set方法
• 3.2 数值求解技术
• 3.2.1 窄带选取
• 3.2.2 Level Set函数的重新初始化
• 3.2.3 速度载荷扩展
• 3.3 快速Level Set算法步骤
• 3.4 数值算例
• 3.4.1 符号距离重新初始化
• 3.4.2 曲面载荷扩展算例
• 3.4.3 算例分析
• 3.5 小结
• 第四章 材料界面运动的Level Set算法
• 4.1 运动界面分析
• 4.2 数值方法
• 4.3 界面演化中的局部Level Set方法
• 4.4 数值算例
• 4.4.1 常速率流的界面演化算例
• 4.4.2 曲率流的界面演化算例
• 4.4.3 算例分析
• 4.5 小结
• 第五章 基于Level Set方法的结构拓扑优化设计
• 5.1 结构拓扑优化问题
• 5.2 基于Level Set方法的结构拓扑优化问题
• 5.3 数值求解技术
• 5.3.1 离散化技术
• 5.3.2 灵敏度分析
• 5.3.3 结构拓扑优化的Level Set算法的计算步骤
• 5.4 数值算例及结果分析
• 5.4.1 数值算例
• 5.4.2 结果分析
• 5.5 小结
• 第六章 结构拓扑优化设计的局部算法
• 6.1 引言
• 6.2 结构拓扑优化设计的局部算法
• 6.3 算法步骤
• 6.4 数值算例
• 6.5 算例分析与算法修正
• 6.6 小结
• 第七章 总结与展望
• 7.1 研究工作总结
• 7.2 研究工作创新点
• 7.3 研究工作展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的相关学术论文
• 攻读博士学位期间完成及参与科研课题
• 致谢