结构线性方程组Aχ=b和Sylvester矩阵方程的迭代解法

论文摘要

本论文主要分为两部分:一部分是考虑了系数矩阵为中心对称矩阵的线性方程组Ax=b的迭代求解;另一部分是研究了控制理论中的Lyapunov矩阵方程和Sylvester矩阵方程的数值求解。在线性方程组Ax=b的迭代求解中,我们主要考虑来求解一类具有特殊结构的线性方程组,即系数矩阵A是一个中心对称矩阵的情况。在本论文中我们主要针对中心对称矩阵的结构特点构造了几种中心对称分裂格式。与Jacobi迭代方法和Gauss-Seidel迭代方法相比,由这些中心对称分裂格式得到的迭代方法不但收敛速度快而且还有计算和存储上的优势。我们在这里重点考虑中心对称M-阵和中心对称H-阵方程组的迭代求解,对于其它的中心对称矩阵线性方程组的迭代求解还在进一步地研究中。在控制系统的分析和设计中,矩阵方程和线性矩阵不等式的求解占有十分重要的地位,受到控制学界和数学界的极大关注。在这里我们主要给出了求解矩阵方程的两种迭代解法:1)利用Kronecker积迭代方法来求解离散的Lyapunov矩阵AXAT-X+Q=0和连续的Lyapunov矩阵方程AX+XAT+Q=0.2)利用基于矩阵分裂的梯度迭代法来求解Sylvester矩阵方程AX+XB=C和AXB+X=C.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 求解线性方程组Ax=b的方法简介
• §1.2 关于矩阵方程的数值求解方法综述
• §1.3 本文所做的主要工作
• 第二章 迭代方法综述及一些相关的理论结果
• §2.1 古典迭代方法
• §2.1.1 常用的迭代方法
• §2.1.2 一些相应的迭代收敛结果
• §2.2 基于变分原理的迭代方法
• §2.2.1 最速下降法
• §2.2.2 共轭梯度法
• §2.3 基于Galerkin原理的投影迭代方法
• §2.3.1 Galerkin原理
• §2.3.2 Arnoldi算法
• §2.3.3 FOM方法
• §2.3.4 GMRES方法
• 第三章 中心对称矩阵方程组的迭代求解
• §3.1 中心对称矩阵的定义与性质
• §3.2 中心对称矩阵的算数平均分裂
• §3.2.1 中心对称M-阵的算术平均分裂
• §3.2.2 中心对称H-阵的算术平均分裂
• §3.3 中心对称矩阵的对三角分裂
• §3.3.1 中心对称M-阵的对三角分裂
• §3.3.2 SOR分裂格式
• §3.3.3 收敛性
• §3.3.4 收敛速度的比较
• §3.4 中心对称H-矩阵的对三角分裂
• §3.5 三个数值算法
• §3.6 JOR方法和Jacobi方法的一些比较结果
• §3.7 正定的Toeplitz线性方程组的迭代求解
• §3.7.1 HSS迭代方法和IHSS迭代方法
• §3.7.2 HSS和IHSS迭代方法的计算量和存储量分析
• §3.7.3 数值例子
• 第四章 控制论中几类矩阵方程的迭代解法
• §4.1 Kronecker积迭代方法
• §4.1.1 Kronecker积的相关知识
• T-X+Q=0'>§4.1.2 Kronecker积迭代方法求解AXA^T-X+Q=0
• T+Q=0'>§4.1.3 Kronecker积迭代方法求解AX+XA^T+Q=0
• §4.2 基于矩阵分裂的梯度迭代法
• §4.2.1 矩阵方程AX+XB=C的基于矩阵分裂的梯度迭代法
• §4.2.2 矩阵方程AXB+X=C的基于矩阵分裂的梯度迭代法
• 参考文献
• 博士期间科研成果
• 致谢