生物医学电磁正反问题数值计算方法研究

论文摘要

在生物医学工程领域存在很多电磁计算问题，从数学上来说它们具有一些共同特性。根据所求问题的源、场关系不同，电磁计算问题可以分为正问题和反问题的计算。正问题是指由一定的源分布计算相应的场分布，即由因及果，它往往是适定的问题，即解的存在性、唯一性和连续依赖性条件都满足；而反问题是指根据一定的场分布重建相应的源分布，即由果及因，它常常是不适定的问题，即解的三个条件不全部满足。同时，正问题是反问题的基础，它一般为后者提供源、场之间的数值计算关系；而后者是前者的目的。针对正、反问题的不同特点需要采用不同的数值计算方法：正问题往往采用常规的有限元、边界元或有限差分等方法进行计算，一般比较简单；反问题则要结合具体问题的先验信息，并采用一些恰当的正则化方法处理才能得到稳定的解，它往往比较复杂，需要花费大量的精力去寻找相应的解。本文的研究集中在生物医学电磁正、反问题的数值计算方面，主要研究了生物医学电磁领域中的三个问题：心电（ECG）问题、MRI线圈设计问题和磁感应断层（MIT）问题。在ECG问题中，源是心脏，而场是体表电位分布，相应的ECG正问题就是从心脏源出发仿真计算体表电位分布，而ECG逆问题是指根据体表电位分布反演心脏源信息。如果不包括虚拟心脏的研究，ECG正反问题主要包含心脏等效源、容积导体建模、正问题计算和反问题计算等方面的研究工作。在本文中，采用BEM方法计算了ECG正问题，其中的容积导体模型采用了实验室早期开发的虚拟心脏和躯干模型；而ECG逆问题通过采用正则化方法处理，主要重建了心外膜电位。在MRI线圈设计问题中，通有电流的导线线圈在一定目标区域产生了磁场，这些导线线圈位置的优化设计就是MRI线圈设计问题，其中也包括源、场关系：源为通电流的导线线圈，场为产生的磁场。高性能MRI梯度和射频线圈的设计一直是MRI学术界和工业界的研究热点问题，已经有大量线圈设计方法提出，其中都涉及到一定的数值计算。在本文中研究了MRI线圈设计方法。MIT问题研究和ECG问题研究一样，其目的是为了开发出新型成像设备，不过它的成像对象是电解质物理特性（电导率）。基于电磁感应原理，MIT提供了一种无创的和非接触式的成像技术，它在生物医学领域和工业领域有很多潜在的应用。本文主要关注MIT在生物医学领域的应用：脑出血的检测与监护，主要集中在MIT系统的仿真研究和数值计算方法方面。这三个问题虽然具有其各自的特点，但从电磁场计算的角度上来看它们具有很多共同特性，如都是基于Maxwell方程在准静态条件下的近似，其正问题和反问题解法可以用到相同的数值计算方法等。论文完成的主要研究工作包括：一、ECG正问题研究系统分析和讨论了ECG正问题研究的主要内容和数值计算方法。在分析ECG正问题常用数值计算方法的基础上，本文针对ECG问题中网格的复杂性和重要性，提出了采用自适应边界元方法（aBEM）计算ECG正问题。选择了h-aBEM方法，它是一个迭代优化网格过程，通过基于BEM计算结果的新节点添加建立优化边界元网格。采用h-aBEM方法，本文计算了ECG正、反问题，通过仿真结果可以得到h-aBEM方法的应用不仅提高了正反问题解的精度，而且对体表电极的优化选择也有一定的指导意义。为了节省h-aBEM方法的计算开销，本文又进一步采用了层次型h-aBEM方法。在执行层次型h-aBEM方法的过程中，本文首次推导了基于线性三角形单元的h层状形函数。并基于实验室的虚拟心脏模型深入研究了这两种不同的aBEM方法和网格优化方案。二、ECG逆问题正则化方法研究分析讨论了常用正则化方法在ECG逆问题中的应用，并比较研究了几种不同的正则化参数选择方法。针对ECG逆问题的实际情况：容积导体建模和心脏跳动等因素的影响，离散得到的线性系统两侧存在不同程度的误差，本文提出了采用基于完全最小二乘（TLS）原理的正则化方法：截断完全最小二乘方法（TTLS）和正则化完全最小二乘方法（RTLS），计算ECG逆问题。所提出的TTLS方法很好地解决了ECG逆问题研究领域中困扰了三十多年的不能同时处理测量噪声和几何噪声的问题。在分析FTLS和RTLS方法的基本原理和算法的基础上，本文通过仿真实验表明新提出的正则化方法在处理实际ECG逆问题方面具有更好的效果，且可以应用于临床心电功能成像。三、MRI线圈设计方法研究在分析讨论MRI线圈设计主要方法的基础上，本文提出了采用BEM和正则化技术相结合的方法设计MRI线圈。通过引入电流密度源的流函数表达式后，源、场区域可以采用BEM方法离散计算，而在线圈设计的反问题计算中采用了Tikhonov正则化方法处理。采用提出的方法，本文设计了开放型MRI系统中的双平面横向梯度线圈和应用于并行成像的RF相控阵线圈。设计结果表明，本文提出的设计方法简单实用，且能设计出基于任意二维或三维几何结构的线圈。四、MIT仿真研究在本文的MIT问题研究中，首先采用edge FEM方法计算了涡流电磁问题和MIT图像重建的Jacobian矩阵，然后采用正则化方法进行电导率信息的重建。基于Philips 16通道MIT系统，本文在MIT系统的优化设计：包括线圈优化和系统尺寸优化等，电磁安全性评估，狗头出血实验的可行性评估等方面做了大量研究工作。同时，基于MIT图像重建的特点，研究了完全变分（TV）方法在MIT问题中的应用，仿真和实验结果表明，TV方法在去除伪影、保持边界方面比常规的l2范约束方法更有优势。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• ABSTRACT
• 缩写
• 目次
• 第1章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 ECG问题研究进展
• 1.2.1 ECG问题发展概况
• 1.2.2 ECG问题计算新方法的提出
• 1.2.2.1 aBEM方法的提出
• 1.2.2.2 ECG逆问题新方法的提出
• 1.3 MRI线圈设计研究进展
• 1.3.1 MRI介绍
• 1.3.2 线圈设计方法
• 1.4 MIT研究进展
• 1.4.1 MIT基本原理
• 1.4.2 MIT研究现状
• 1.5 本文主要内容
• 第2章 不适定反问题和正则化方法
• 2.1 基本数学概念
• 2.1.1 不适定反问题
• 2.1.2 奇异值分解
• 2.1.2.1 奇异值分解
• 2.1.2.2 广义奇异值分解
• 2.1.3 Picard准则
• 2.1.4 滤波因子
• 2.2 确定性方法
• 2.2.1 直接正则化方法
• 2.2.1.1 Tikhonov正则化方法
• 2.2.1.2 TSVD正则化方法
• 2.2.2 迭代正则化方法
• 2.2.2.1 GMRes方法
• 2.2.2.2 LSQR方法
• 2.2.3 正则化参数选择方法
• 2.2.3.1 DP方法
• 2.2.3.2 L曲线方法
• 2.2.3.3 GCV方法
• 2.2.3.4 CRESO方法
• 2.2.3.5 零交叉方法
• 2.2.3.6 正则化参数选择方法分析
• 2.3 统计方法
• 2.4 本章小结
• 上篇 ECG问题
• 第3章 ECG正问题
• 3.1 基本原理
• 3.1.1 心脏的兴奋传导
• 3.1.2 心脏的生物电流源
• 3.1.3 生物电场的准静态近似
• 3.1.3.1 势的波动方程
• 3.1.3.2 生物组织的电磁特性
• 3.1.3.3 准静态近似
• 3.1.4 双域模型
• 3.2 容积导体模型
• 3.2.1 容积导体表示方法
• 3.2.1.1 常规结构型网格
• 3.2.1.2 非结构型网格
• 3.2.1.3 表面网格
• 3.2.2 容积导体模型数据源
• 3.2.2.1 标准化容积导体数据
• 2.3.2.2 个体化容积导体数据
• 3.2.3 容积导体模型建立方法
• 3.3 边界元方法
• 3.3.1 BEM方法数学原理
• 3.3.2 BEM方法计算ECG正问题
• 3.3.2.1 格林定理和基本概念
• 3.3.2.2 基于等效源模型的ECG正问题BEM计算
• 3.3.2.3 基于EP的ECG正问题BEM表示
• 3.3.3 立体角理论与计算
• 3.3.3.1 立体角概念
• 3.3.3.2 立体角计算
• 3.4 数值计算验证——解析解
• 3.4.1 基于偶极子源的解析解
• 3.4.1.1 磁场
• 3.4.1.2 单一均匀各向同性球模型电位
• 3.4.2 基于EP的解析解
• 3.5 本章小结
• 第4章 ECG逆问题
• 4.1 心脏等效源模型
• 4.1.1 节点型等效源模型
• 4.1.2 分布式等效源模型
• 4.1.2.1 EP源
• 4.1.2.2 UDL源
• 4.1.2.3 EDL源
• 4.2 ECG逆问题公式表示
• 4.2.1 基于UDL的ECG逆问题——兴奋时序重建
• 4.2.2 基于EDL的ECG逆问题——TMP重建
• 4.3 ECG逆问题正则化方法
• 4.4 本章小结
• 第5章 基于h型aBEM方法的ECG问题研究
• 5.1 aBEM方法
• 5.1.1 误差估计
• 5.1.2 网格优化
• 5.1.2.1 h型优化方案
• 5.1.2.2 p型优化方案
• 5.1.2.3 其它优化方案
• 5.1.3 自适应策略
• 5.2 h-aBEM在基于EP的ECG问题中的应用
• 5.2.1 h-aBEM分析
• 5.2.2 真实躯干几何描述
• 5.2.3 数值仿真
• 5.2.3.1 仿真模型
• 5.2.3.2 仿真结果
• 5.3 h-aBEM计算ECG正问题:两种不同网格优化方案比较
• 5.3.1 h-aBEM分析
• 5.3.2 h层状形函数
• 5.3.3 数值仿真
• 5.3.3.1 仿真模型
• 5.3.3.2 仿真结果
• 5.4 本章小结
• 第6章 基于TLS原理的ECG逆问题研究
• 6.1 基于TLS的正则化方法
• 6.1.1 RTLS方法
• 6.1.2 TTLS方法
• 6.2 基于TLS正则化方法的数值仿真
• 6.2.1 仿真模型
• 6.2.2 仿真结果
• 6.2.2.1 基于TTLS方法的仿真结果
• 6.2.2.2 基于RTLS方法的仿真结果
• 6.3 本章小结
• 中篇 MRI问题
• 第7章 结合BEM和正则化技术的MRI线圈设计
• 7.1 BEM分析MRI线圈问题
• 7.1.1 BEM设计的原理
• 7.1.1.1 线圈设计的物理问题
• 7.1.1.2 物理问题的离散化
• 7.1.1.3 线圈设计相关的物理量
• 7.1.2 BEM设计的计算过程
• 7.1.2.1 建立BEM网格
• 7.1.2.2 计算基函数
• 7.1.2.3 数值积分
• 7.1.2.4 边界和对称性约束
• 7.1.2.5 反问题计算——线圈设计
• 7.1.2.6 线圈路径的获取
• 7.2 Biplanar transverse gradient coils
• 7.2.1 实验仿真模型
• 7.2.2 实验仿真结果
• 7.2.3 讨论与小结
• 7.3 RF phased array coils
• 7.3.1 实验仿真模型
• 7.3.2 实验仿真结果
• 7.3.3 讨论与小结
• 7.4 本章小结
• 下篇 MIT问题
• 第8章 MIT问题研究
• 8.1 MIT正问题
• 8.1.1 MIT正问题公式表示
• 8.1.2 Edge FEM计算MIT正问题
• 8.1.2.1 Edge FEM
• 8.1.2.2 Edge FEM离散
• 8.2 MIT反问题
• 8.2.1 MIT反问题公式
• 8.2.2 TV正则化方法
• 8.3 数值仿真
• 8.4 本章小结
• 第9章 总结与展望
• 9.1 总结
• 9.2 展望
• 参考文献
• 作者简历
• 作者在学期间所取得的科研成果