方程组和变分不等式的迭代算法与收敛性分析

论文摘要

本文主要讨论求解非线性方程组问题与变分不等式问题的迭代算法。全文共分三章。 第一章,我们考虑非线性单调方程组问题。对该问题,Solodov和Svaiter（1998）提出了一个具有全局收敛性质的迭代算法。该方法首先通过求解Newton-型方程得到搜索方向,进而借助Armijo-型线搜索得到严格分离当前迭代点与问题解集的超平面,最后把当前点投影到该超平面上得到新的迭代点。本章对该算法进行了如下两个方面的改进:（1）把当前点投影到两个闭半空间的交上,从而从理论上保证了新得迭代点与单调方程组的解集的距离更近。（2）修改了原算法中的参数,省掉附加在收敛定理中对参数的限制,并使算法在实际中更容易执行。在问题涉及的函数单调和问题的解集非空的假设下,我们证明改进的算法仍具有全局收敛性。在误差界假设条件下,我们得到了改进算法的线性收敛速度。另外,我们还得到保证线搜索步长有正的下界的一个充分条件。最后我们给出了该算法在解变分不等式问题中的一个应用和初步数值试验结果。数值试验表明改进算法非常稳定高效。 第二章,我们考虑带约束的非线性单调方程组问题。基于第一章提出的求解无约束单调方程组问题的Newton-型迭代算法,我们提出一个新的求解带约束的非线性单调方程组的投影算法。该算法的主要特点是:（1）在标准假设下具有全局收敛性质;（2）在每一迭代步,只需近似求解一个线性方程组,从而计算量小;（3）引入长步长规则,保证有较快收敛速度。最后的初步数值试验表明,该算法是可行有效的。 第三章,我们考虑变分不等式问题。D. Han（2003）提出一个求解变分不等式问题的推广近中心点算法（generalized proximal point method）。该算法的主要

论文目录

• 第一章 一个求解单调方程组的混合型算法及其应用
• §1.1 引言
• §1.2 引理与假设
• §1.3 改进的算法
• §1.4 全局收敛性
• §1.5 线性收敛速度
• §1.6 算法的应用
• §1.7 初步数值试验
• 第二章 一个求解带约束单调方程组的投影算法
• §2.1 引言
• §2.2 不精确型投影算法
• §2.3 算法收敛性分析
• §2.4 初步数值试验
• 第三章 一个求解变分不等式问题的推广近中心点算法
• §3.1 引言
• §3.2 预备知识
• §3.3 算法及其收敛性
• §3.4 初步数值试验
• 参考文献