论文摘要
趋药性模型指的是细胞随着周围环境中某种化学物质的浓度而改变自己运动方向的一种机制。自然界中很多生物都具有趋药性,比如变形虫在食物限制下聚集成多细胞生物,细菌利用鞭毛感知周围环境的信息,从而向着营养物质丰富的地方转移等等,如何描述这种细胞从单一个体随着化学信号而聚集成子实体的过程,引起了许多数学家和生物学家的关注。实际上,这些模型有着共同的数学特征,这就是Keller和Segel在上世纪70年代提出的Keller-Segel模型。由于Keller-Segel方程存在着两项竞争,因此解的全局存在与有限时间爆破是方程研究的基本问题。从2000年之后,关于这类方程的研究已经有了很大的进展,但始终没有个一致的界定标准,来区分导致方程解的全局存在和有限时间爆破的初始条件。为此本文研究了不同初始条件下方程解的全局存在与有限时间爆破。本文内容主要包括超临界情况下方程解的全局存在与有限时间爆破,次临界情况下方程解的全局存在性,方程稳态解的一些性质,具体包括：·在超临界情况下,给出了初始Ld（2-m）/2模的一致上界,使得当初始Ld（2-m）/2模严格小于此上界时,方程的解全局存在。·当m>1-2/d且初始值属于Ld（2-m）/2时,利用解的全局存在结论,证明了解在L。。范数下的hyper-contractivity.提出了另一个重要的临界指标m=2d/（d+2）,使得当1<m<2d/（d+2）时,稳态解的Ld（2-m）/2模无界；当m>2d/（d+2）时,稳态解的Ld（2-m）/2模是一个仅依赖于空间维数d的常数。·给出了稳态解的Ld（2-m）/2模是严格区分方程解的全局存在与有限时间爆破的临界值的猜想,即当初始值满足||Uo||d（2-m）/2<||Us||d（2-m）/2时,方程的解全局存在；当||Uo||d（2-m）/2>||Us||d（2-m）/2时,方程的解在有限时刻爆破。数值模拟的结果验证了这猜想。