几类随机延迟微分方程解析解及数值方法的收敛性和稳定性

论文摘要

作为一种重要的数学模型随机延迟微分方程广泛应用于物理、生物、医学、经济学和控制科学等领域。由于很难获得随机延迟微分方程的显式解表达式,构造适用的数值方法和研究数值解的性质就成为了既具理论意义又有应用价值的研究课题。近几年来,许多作者研究了随机常延迟微分方程及其数值方法。但对于随机变延迟微分方程,尤其是对随机无界延迟微分方程及其数值方法的研究很少,例如对随机比例方程及其数值方法的研究刚刚开始。本文主要讨论随机比例方程的解析解的存在唯一性和p阶矩稳定性、数值方法的收敛性和p阶矩稳定性。同时探讨了一类随机无界延迟微分方程的解析解及其数值方法的均方稳定性和随机常延迟微分方程的数值方法的p阶矩指数稳定性。论文回顾了随机微分方程、随机延迟微分方程的研究发展历程,分析了目前的研究状况。对一类随机无界延迟微分方程,获得了其解析解均方稳定的条件,探讨了线性随机无界延迟微分方程的Euler方法的均方稳定性,给出了相关的数值试验。对于随机常延迟微分方程,使用Razumikhin型技巧研究了其数值方法的p阶矩指数稳定,并给出了线性随机常延迟微分方程的Euler方法的均方指数稳定条件。考察了随机比例方程。利用Banach压缩映像原理证明了在局部Lipschitz条件和线性增长条件成立前提下,随机比例方程有唯一解。同时证明了当全局Lipschitz条件和线性增长条件成立时,随机比例方程的半隐式Euler方法是21阶收敛的,并给出了相应的数值试验。对于随机比例方程,借助上鞅收敛定理建立了其解析解的LaSalle型渐近收敛定理,据此得到了其解析解的渐近稳定条件,特别对于线性随机比例方程给出了具体的渐近稳定条件。对于随机比例方程,还利用Razumikhin技巧研究了其解析解和数值解的p阶矩渐近稳定,特别得到了线性随机比例方程及其半隐式Euler方法的p阶矩渐近稳定条件,给出了一些数值试验。本文所给出的结果都是新的,尤其对随机比例方程的研究是基础性的,它为进一步的研究打下了良好的基础。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 随机延迟微分方程及其应用
• 1.2 随机微分方程和随机延迟微分方程的基本理论
• 1.3 随机微分方程和随机延迟微分方程的数值分析
• 1.4 本文主要工作
• 第2章 一类随机无界延迟微分方程的稳定性
• 2.1 引言
• 2.2 解析解的均方稳定性
• 2.3 数值解的均方稳定性
• 2.4 数值试验
• 2.5 本章小结
• 第3章 随机常延迟微分方程数值解的p阶矩指数稳定
• 3.1 引言
• 3.2 解析解的性质
• 3.3 数值解的p 阶矩指数稳定
• 3.4 线性随机延迟微分方程的均方指数稳定
• 3.5 本章小结
• 第4章 随机比例方程解的存在唯一性和半隐式Euler方法的收敛性
• 4.1 引言
• 4.2 解析解的存在唯一性
• 4.3 半隐式Euler方法的收敛性
• 4.4 数值结果
• 4.5 本章小结
• 第5章 随机比例微分方程的LaSalle-型定理
• 5.1 引言
• 5.2 渐近收敛性
• 5.3 渐近稳定性
• 5.4 线性随机比例方程的渐近稳定性
• 5.5 本章小结
• 第6章 随机比例微分方程的p阶矩稳定
• 6.1 引言
• 6.2 解析解的Razumikhin型定理
• 6.3 数值解的Razumikhin型定理
• 6.4 半隐式Euler方法的均方稳定性
• 6.5 数值试验
• 6.6 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的学术论文
• 原创性声明及使用授权书
• 致谢
• 个人简历