一类Reinhardt域上的Bergman核函数与陆启铿猜想

论文摘要

Bergman核函数理论在多复变函数论的发展中扮演了一个非常重要的角色，并且对很多相关领域的发展起到了促进作用，比如微分几何、泛函分析、经典位势理论、函数论等领域。众所周知，有界域都存在Bergman核函数，但能够显式求出Bergman核函数的有界域并不多。所以如何显式求出Bergman核函数是个很重要的问题，至今仍吸引着数学家的研究。本文考虑一类Reinhardt域，其定义如下：H（N，m，n；K，P）={（ξ，z，ω）∈CN+m+n：‖ξ‖2K＜（1-‖z‖2）P（1-‖ω‖2）}其中ξ=（ξ1，…，ξN）∈CN，z=（z1，…，zm）∈Bm（0，1），ω=（ω1，…，ωn）∈Bn（0，1），‖ξ‖2=sum from k=1 to N |ξk|2，‖z‖2=sum from k=1 to m |zk|2，‖ω‖2=sum from k=1 to n |ωk|2，K，P＞0。在本文第二章，我们先利用域H（1，m，n；K，P）的完备规范正交系和全纯自同构群，通过一些特殊的Γ函数关系式以及一些计算技巧，得到了域H（1，m，n；K，P）上Bergman核函数的显表达式。然后，利用膨胀原理，得到域H（N，m，n；K，P）上Bergman核函数的显表达式。这里值得指出的是，由于能显式求出Bergman核函数的域的类型很少，因此，Bergman核函数能够显式表出的域都是很好的域，是值得研究的域。陆启铿猜想起源于陆启铿1966年的文章《关于常曲率的K（?）hler流形》中所提出的一个问题：何种类型的域的Bergman核函数没有零点?1969年，波兰数学家M.Skwarczynski第一个把陆启铿提出的问题称为陆启铿猜想。如果一个域的Bergman核函数没有零点，则称这个域为陆启铿域。近年来，对陆启铿猜想的研究方法基本上都是先求出Bergman核函数，然后利用各种技巧去判断零点是否存在。在本文中，我们求出了H（N，m，n；K，P）的Bergman核函数的显表达式，然后利用各种技巧，将Bergman核函数的零点问题转化成了多项式的零点问题。利用Routh-Hurwitz定理，我们讨论了变量K，P在什么情况下，域H（N，1，1；K，P）、H（N，1，2；K，P）与H（N，2，1；K，P）为陆启铿域。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 序言
• 第一章 准备知识
• 第二章 H（N，m，n; K，P）上的Bergman核函数
• 第三章 H（N，m，n; K，P）上的陆启铿猜想
• 参考文献
• 致谢