GCKdV方程的Painlevé性质分析与几类非线性方程的精确解

论文摘要

孤子理论是非线性科学中非常重要的一个研究方向。20世纪中叶以来,对孤子的广泛研究促进了人们对非线性数学物理方程的可积性研究,数学家和物理学家建立了许多方法来判断非线性系统是否可积,Painlevé测试就是其中最有效的检测方法之一。 本文包括五部分内容。第一章简要回顾了孤子的发现及其意义,并扼要概括了本文研究的主要内容。第二章介绍了Painlevé测试方法的由来和Painlevé测试方法的发展改进过程:Painlevé测试的ARS方法、WTC方法、微扰的Painlevé测试方法和推广的Painlevé测试方法,并将Painlevé测试方法应用到GCKdV方程,对展开族各个共振点的相容性条件进行验证,证明GCKdV方程是Painlevé可积的。 本文第三章利用Painlevé分析得到的标准截断展开法、推广的截断展开法以及Jacobi椭圆函数展开法,给出了GCKdV方程方程的几类精确解。反散射方法是傅立叶变换法在非线性系统中的推广,近来,作为线性物理中的另一大普遍适用的方法——分离变量方法得到了一些发展。第二节将形式分离变量方法应用

论文目录

• 第一章 引论
• §1.1 孤立波的发现及其意义
• §1.2 本文研究的内容
• 第二章 GCKdV方程的Painlevé性质分析
• §2.1 Painlevé性质的判定方法
• §2.1.1 Painlevé测试的ARS方法
• §2.1.2 Painlevé测试的WTC方法
• §2.1.3 共形不变的Painlevé分析方法
• §2.1.4 推广的Painlevé分析方法
• §2.2 GCKdV方程的Painlevé分析
• §2.2.1 GCKdV方程的标准和共形不变的Painlevé分析
• §2.2.2 GCKdV方程的微扰的Painlevé分析
• §2.3 小结
• 第三章 几类非线性方程的精确解
• §3.1 GCKdV方程的精确解
• §3.1.1 标准的Painlevé截断展开解
• §3.1.2 推广的Painlevé截断展开解
• §3.1.3 Jacobi椭圆函数展开解
• §3.2 利用形式分离变量方法研究（1+1）维方程的解
• §3.2.1 形式分离变量方法
• §3.2.2 可积和不可积方程的精确解
• §3.3 小结
• 第四章 非线性方程的Jacobi椭圆函数叠加解
• §4.1 CDGSK方程的解
• §4.2 NNV方程的解
• §4.3 ZK方程的解
• §4.4 小结
• 第五章 结论
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表的学术论文目录