具有调和共形曲率的黎曼流形上的Schouten张量及其应用

论文摘要

在本文中,我们研究了由Ricci曲率和纯量曲率表示的Schouten张量（参考文[13]）,并且得出这个张量在具有调和Weyl共形曲率张量的黎曼流形（维数n>3）上是一个Codazzi张量,我们就把这个张量看成是实空间形式中超曲面的第二基本形式的一个自然推广,进而可以得到一些类似的定理和结论.然后我们利用这个张量仿照文[3]中的算子诱导了一个关于L2-内积自伴的算子-口算子,并且得到了紧致局部共形对称空间和紧致局部共形平坦空间上的某一函数的不等式进而刻画了Einstein空间和常曲率空间,同时建立了与这个张量相关的一些新的定理,也对一些已知的定理进行了推广.得到的主要结果有:定理2.1令M（dimM>3）为紧致共形对称空间,如果M有常纯量曲率和正的截曲率,则M是Einstein空间.推论2.1令M（dimM>3）为紧致共形平坦流形,如果M有常纯量曲率和截曲率,则M是常截曲率空间. 当我们把定理2.1中截曲率为正的条件放弱到要求截曲率为非负的时候,就得到下面的定理和推论:定理2.2令M（dimM>3）为紧致共形对称空间,如果M有常纯量曲率和非负截曲率,则: 或者M为Einstein的, 或者M可以表示成若干个流形的乘积,即M=Mn1×…×Mnr（n1+…+nr=dimM）,其中每个Mni（1≤i≤r）为Einstein的.推论2.2令M（dimM>3）为紧致共形平坦流形,如果M有常纯量曲率和非负截曲率,则M可以表成两个常截曲率黎曼流形的乘积,即M=MP（c）×Mn-p（-c）.定理2.3令M（dimM>3）为有正截曲率的紧致共形对称空间,如果则M是Einstein的.推论2.3令M（dimM>3）为有正截曲率的紧致共形平坦空间.如果则M是常截曲率空间.定理3.1令M（dimM>3）为紧致共形平坦流形,如果S满足:

论文目录

• §0 引言
• §1 局部公式和Schouten张量
• §2 局部共形对称流形上的□算子及Schouten张量的一些相关结论
• §3 共形平坦黎曼流形上的一些相关结论
• §0 Introduction
• §1 Local formulas and Schouten tensor
• §2 Operator 口 and some results related to Schouten tensor on local conformally symmetric manifold
• §3 Some results on conformally flat manifold
• 参考文献
• 致谢