黄志华
摘要：教师要教给学生运用数形结合的思想分析和解决问题，使学生领会到“数形结合”的方法具有形象、直观、易于说明等优点，并让学生初步学会用“数形结合”的观点去分析问题、解决问题。从而不断让学生感受数学思想的魅力，让学生逐渐形成对数学思想的应用意识，提升学生的数学素养。
关键词：数形结合；图形语言；函数图像
许多刚迈进高一的学生，初中的时候数学成绩非常好，但是进到高中不到两个月就发现自已在数学学科上与别的学生产生了很大差距，这让他们在数学学习中产生了很大的障碍，因此，这些学生心理产生了巨大的落差，甚至影响到其他学科的正常学习，但是反观其他学生的数学学习不仅轻松，而且成绩也越来越优秀。同样都是优等生考入高中，为何产生如此大的差异？通过分析，笔者发现，其中一个重要的原因就在于数学成绩优秀的学生在学习数学时，能够运用数学思想去分析问题。而进入高中之后，学生第一学期所学的两个必修模块的内容都以函数为主，因此，学生对函数知识的掌握程度直接影响了数学学习成绩的好与坏。我们都知道，函数的性质与其图像的联系非常紧密。这其中就体现高中阶段数学的一个重要思想，即数形结合思想。但是所有的数学思想在高中教材中并没有单独设置一个章节来讲授，因此，教师只有在平时的讲课中对学生进行数形结合思想的渗透，让学生逐步去感受和理解数形结合的思想，并自然地去运用。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一，要让学生彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既要让学生分析其几何意义，又要让学生分析其代数意义；第二，教师要让学生恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，促使学生做好数形之间的转化；第三，教师要教学生正确确定参数的取值范围。教师在教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性，引导学生从图与形上发现数量关系，找出解决问题的突破口。笔者结合近十几年的高中教学实践，总结了一些在平时教学过程中对学生进行数形结合思想渗透的方法。
一、教师要注重平时课中的渗透，让学生感受数形结合的思想
刚刚步入高中的学生，由于刚接触集合这一概念，他们往往对集合之间的关系的理解感到困难，因此，在教学过程中，教师要向学生介绍集合的维恩(Venn)图表示方法及数轴表示方法。
1.利用集合的维恩(Venn)图表示方法解决集合问题
例1.已知：有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化小组的学生分别为28，25，15，同时参加数、理小组的学生为8人，同时参加数、化小组的学生为6人，同时参加理、化小组的学生为7人，问：同时参加数、理、化小组的学生共有多少人？
分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数(如图1)，则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。用n表示集合的元素，则
有：
即：
∴，即同时参加数理化小组的有1人．
2.利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题图1
当已知几个集合的解集是不等式形式，要求它们的交集或并集时，教师需要经常借助于数轴，把不等式的解集在数轴上表示出来，让学生通过数轴观察它们的交集或并集，这样比较直观。
例2.已知集合，若，(1)求的范围。(2)若，求的范围。
分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有:,这时的值不可能存在(图2①),要使，当a>0时集合A应该覆盖集合B,应有成立，。
当时,,显然成立.故时的取值范围为：
（图2②）
图2
教师要注重课堂中的示范作用，在讲解习题时多用图形语言解释，让学生感受数
形结合思想的特征
在平时的教学内容中，有很多是与函数相关的，比如，方程解的个数、单调区间的求解、图形形状的判定等等。只要能够用作图来反映解题思路，教师都要尽量用图形的语言来解释，让学生认识数形结合思想的基本应用过程。
例3.设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况。
分析：我们可把这个问题转化为确定函数与图像(如图3)交点个数的情况，因函数表示平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出：
①当时，与没有交点，这时原方程无解;
②当时，与有两个交点,原方程有两个不同的解;
③当时，与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；
④当时，与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；
⑤当时与有两个交点，原方程不同解的个数有三个。图3
如果按常规去绝对值，用传统的解二次函数的方法来解该题会很繁琐，也会浪费很多时间，甚至会让学生丧失解题的信心。而如果教师用数形结合的方法来讲解该题，会使学生进一步感受数形结思想的应用过程，也让其体会到数形结合思想的应用所带的便捷。
三、教师要注重教学中的积极引导，培养学生对数形结合思想的应用意识
俗话说：“兴趣是最好的老师。”任何内容只要让学生产生兴趣，那么，他们掌握和运用起来就可以驾轻就熟了。同时，也能让他们在平的练习与考试中自觉地去运用数学思想来解决数学问题。例如：
例4.已知椭圆上的点到右焦点的距离为(其中为椭圆的离心率)，则圆心在椭圆上，半径的所有圆所覆盖的图形面积为？
分析：学生审完本题后，不免产生畏惧心理。而本题条件中半径也在动，动圆圆心在已知椭圆上运动。但是只要学生仔细审题，会发现条件中的点到右焦点的距离为以及半径。这两个表达非常眼熟，此时学生就会联想到椭圆的焦的半径公式：，，到这一步后，学生就得及时进行知识的迁移了，这时教师要让学生观察这三个表达式:，，，学生会发现三个式子均含有变量，而他们以前所接触过的知识中有消参法求动点轨迹。因此，学生可以试着把这三个式子中与；与(其中,)分别消去变量得这两个等式：，。又因为，是定点。是动圆的半径，由，及时联想到圆与圆的位置关系，，分别是圆与圆外切，圆与圆内切。故由，，可以确定动圆分别与以为圆心，2为半径的圆外切；与以为圆心，8为半径的圆内切，(如图4所示)。动圆在定椭圆上运动时(如图5所示)，可知只有圆不会被覆盖，被覆盖到的恰好是圆减去圆剩下的面积。故圆心在椭圆上，半径的所有圆所覆盖的图形面积为
图4图5
如例4中将一个很难理解的问题，通过数形分析，得出定义进而很快得到解题方法，学生也许在开始时有点失落，但听完分析讲解后，情不自禁地喊出“妙”。
四、注重课堂自主反思，引导学生主动内化并形成数学思想应用体系
数学思想与具体的数学知识是一个有机整体，它们相互联系、互相影响。大量数学知识教学中蕴含着丰富的数学思想和方法，具有高度的抽象性和概括性。所以，教师在课堂教学中要对隐藏在数学知识背后的思想方法及时地各个击破，使之明朗化，这样才能通过知识传授这一载体突出数学思想的教学目标。有时在一章或一单元的教学内容中会涉及很多的数学思想和方法，这就需要教师根据教材内容有意识地突出一种或几种思想方法的教学过程。如，在《不等式》这个单元教学中将会涉及函数方程思想、数形结合思想、分类思想和转化思想等。数学思想方法的教学不可能一步到位，是循序渐进的过程。因此，在数学课堂教学中，教师要按照“逐步理解、不断重复、自觉应用”的顺序来进行数学思想方法的教学。最后，让学生通过对自己解题的反思、总结，更深刻地领会其中的数学思想方法，从而灵活地运用数学思想方法进行解题。
总之，教师可以通过各种形式有意识地使学生领会到“数形结合”方法具有形象直观、易于说明等优点，并初步学会用“数形结合”的观点去分析问题、解决问题，不断让学生感受数学思想的魅力，让学生逐渐形成数学思想的应用意识，提升学生的数学素养。
作者简介：黄志华，男，中学数学高级教师，现任教于江西省瑞金市第一中学。