结构函数下球面曲线的特征

论文摘要

球面几何在几何学的理论研究方面具有特殊的作用.由空间曲线论的基本定理得知：曲线除了在空间的位置外,完全由它的自然方程惟一确定.除了曲率和挠率外,本文还找到一个和自然方程类似的量——结构函数来刻画曲线.本文第二章主要介绍向量函数的有关概念、主要定理和推论以及曲线论的基本理论.第三章是本文的核心内容,通过引入结构函数P（s）,f（s）,g（s）来讨论球面曲线的曲率κ（s）,挠率τ（s）；得出球标架下的球曲率λ（s）为测地曲率κ。；通过微分几何中特殊曲线的性质来得到非线性微分方程的一个解为其中c1,c2为任意常数,且c12+c22=l；最后讨论了特殊球面曲线的性质,比如球面螺线的特征,进而得到一些特殊结论.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 研究背景及研究现状
• 1.1.1 球面曲线的研究背景和现状
• 1.1.2 结构函数的研究背景和现状
• 1.1.3 微分方程的研究背景和现状
• 1.2 本文的主要内容、研究目的及意义
• 第2章 预备知识
• 2.1 向量的基础知识
• 2.1.1 向量的概念
• 2.1.2 向量的运算
• 2.2 向量函数的基础知识
• 2.2.1 向量函数的概念
• 2.2.2 向量函数的微积分
• 2.3 曲线论的基础知识
• 2.3.1 曲线的概念
• 2.3.2 曲线的弧长自然参数
• 2.3.3 空间曲线的基本三棱形
• 2.3.4 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式
• 2.3.5 一般柱面螺线
• 2.3.6 空间曲线的法曲率
• 2.3.7 空间曲线的测地曲率
• 第3章 结构函数下的单位球面曲线
• 3.1 单位球面上曲线在结构函数下的曲率
• 3.2 单位球面上曲线在结构函数下的挠率
• 3.3 应用结构函数来讨论球标架下的球曲率
• 3.4 通过引入参数θ来讨论曲率、挠率以及球曲率
• 3.5 在结构函数下讨论球面上的特殊曲线
• 第4章 主要结论
• 参考文献
• 致谢