椭圆型变分问题的有限元逼近及其数值求解

论文题目: 椭圆型变分问题的有限元逼近及其数值求解

论文类型: 博士论文

论文专业: 应用数学

作者: 姜英军

导师: 石钟慈,曾金平

关键词: 变分问题,障碍问题,互补问题,误差估计,直接方法,区域分解法

文献来源: 湖南大学

发表年度: 2005

论文摘要: 本文研究如下变分问题;求u∈K,使得(F(u),v-u)≥0,(?) v∈K。对于不同的K与F(u),上述问题可分别对应于线性或非线性方程问题,单障碍或双障碍问题等。对于无限维问题,我们将讨论其有限元逼近的无穷范数误差估计,而对于离散问题,我们将分别讨论求解相应问题的直接方法和迭代算法。主要内容如下:1、研究仿射椭圆型双障碍问题的有限元解在无穷范数下的误差估计;2、研究带非线性源项椭圆型问题的有限元解在无穷范数下的误差估计;3、使用直接方法求解M-矩阵对应的有限维仿射双障碍问题;4、应用Schwarz算法求解M-函数对应的有限维非线性互补问题。第1章,我们将阐述我们所研究的问题及方法的应用背景及发展情况。第2章,我们研究仿射椭圆型双障碍问题的有限元解在无穷范数下的误差估计。已经有学者做了这方面研究并得到h~2|logh|的误差界。我们将从另一个角度分析得到类似的结果。主要思想是构造与原问题同解的两个单障碍问题,用已有的关于单障碍的相关结果来分析双障碍问题的有限元解的误差。第3章,我们研究带非线性源项的椭圆型问题的有限元解在无穷范数下的误差估计。关于椭圆型问题,最一般的无穷范数误差估计结果是由Nitsche通过使用加权函数得到。关于线性椭圆型问题,有限元解在无穷范数下的误差界可达到h~2|logh|。在本章中我们将在有限元空间中引入加权范数,并建立起有限元空间内无穷范数与加权范数的关系。利用线性椭圆型问题有限元解的误差界及相应对偶理论我们得到原问题有限元解的无穷范数误差界为h~2|logh|。与以往结果不同之处在于我们用重心区域法来离散原问题的非线性源项。第4章,我们使用直接方法求解M-矩阵对应的有限维仿射双障碍问题。此问题可来源于椭圆型双障碍问题的有限元离散或某些优化问题。对于M-矩阵对应的仿射单障碍问题,已经有许多专门的直接求解方法,并且这些方法的运算量多是多项式级阶的,一般可达到O(n~3),其中n表示问题的规模大小。这些直接法的主要思想是逐步将问题的解的贴合集与非贴合集区分出来,进而将解得出。但是这些单障碍问题的方法并不能直接推广到求解双障碍问题上来。在本章中我们根据M-矩阵的性质,将原问题转化为行对角占优M-矩阵对应的新的仿射双障碍问题,通过其对应等式的解我们可以判断出此新问题解的某些与障碍贴合的分量。在此基础上我们提出了两种直接求解方法。它们都具有多项式阶的计算复杂度,其中一种方法的计算复杂度达到O)(n~3),是至今为止求解双障碍问题直接法

论文目录:

摘要

Abstract

第1章绪论

1.1 概述

1.2 记号及基本概念

第2章仿射椭圆型双障碍问题有限元解的无穷范数误差估计

2.1 引言

2.2 准备工作

2.3 主要结果

2.4 多级投影算法

第3章带非线性源项椭圆型问题有限元解的无穷范数误差估计

3.1 引言

3.2 有限元逼近

3.3 基本结果

3.4 主要结果的证明

第4章求解有限维仿射双障碍问题直接方法

4.1 引言

4.2 基本性质

4.3 直接方法

4.4 一些讨论

第5章求解非线性互补问题Schwarz算法

5.1 引言

5.2 乘性和加性Schwarz算法

5.3 几何收敛性

5.4 M-函数与T-单调算子关系

第6章求解非线性互补问题多重分裂算法

6.1 引言

6.2 多重分裂算法

6.3 单调收敛性

6.4 几何收敛性

6.5 算法的一个扩展

第7章求解双障碍问题多重分裂算法

7.1 引言

7.2 多重分法算法

7.3 收敛性质

结论

参考文献

致谢

附录攻读博士学位期间完成和发表论文目录

发布时间: 2005-09-27

参考文献

[1].对流扩散方程的特征有限元方法以及气泡行为模拟研究[D]. 王晓玲.郑州大学2010

椭圆型变分问题的有限元逼近及其数值求解

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