有限元超收敛后处理技术

论文摘要

有限元法是解偏微分方程的有效方法之一。但是有限元解的导数在单元边界不连续且整体精度不高。因而如何提高有限元解的精度引起了许多计算数学家的兴趣。 1992年O.C.Zienkiewicz-J.Z.Zhu提出了超收敛单元片恢复技术（简称SPR技术）,由于它具有计算简单、效果显著、易于理解、和现有的有限元应用软件接口方便等等特点,因此一经提出就受到了工程界的广泛欢迎,并被Babuska等人认为是用于渐进准确的后验误差估计效果最好的技术之一。从此有限元超收敛后处理技术从理论研究走向了实际应用。有趣的是,利用这种技术,在一致剖分意义下,对偶次有限元都可以获得内节点应力的强超收敛结果;而对奇次有限元只能在内节点处获得应力高一阶的精度,而不能获得强超收敛结果。 1995年以来Z.M.Zhang,J.Z.Zhu,B.Li等人已经对SPR技术得到的关于两点边值问题、矩形元、三角形线元等结果都给予了理论上的证明;但对三角形二次元强超收敛结果的证明难度太大,一直没有人给出。 本文主要讨论了有限元超收敛后处理技术。从渐进展开入手着重讨论了对SPR技术的改进,获得了奇次元的强超收敛结果,弥补了SPR技术的缺陷;从研究恢复算子的特性入手,利用对称处理技巧,解决了三角形二次元强超收敛的证明难题。 本文在好几个方面做出了较出色的工作,主要创新之处为: 1.对一维和二维的奇次有限元提出了一种新的恢复技巧,获得了导数的强超收敛结果,对三次元甚至获得了O（h6）的结果,这是利用SPR技术做不到的,也弥补了利用SPR技术对奇次元仅获得超收敛的缺陷,参见第五章第二节; 2.对三角形二次元的SPR技术作了改进,获得了与SPR技术同样的强超收敛结果,而且从理论上证明了SPR技术所获得的结果,这是还没有人证明的,参见第五章第一节; 3.从有限元的超逼近出发我们发现了一个证明恢复算子具有超收敛

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 绪论
• §0.1 问题的提法
• §0.2 历史背景
• §0.3 主要结论和创新
• §0.4 有限元空间及其记号
• §0.4.1 模型问题及有限元空间
• §0.4.2 常用的记号
• §0.4.3 Sobolev空间
• 第一篇 基本理论
• 第一章 离散Green函数理论
• §1.1 定义
• §1.2 关于离散Green函数的一个新的估计
• 第二章 投影型插值
• §2.1 Legendre多项式与ω多项式
• §2.2 一维投影型插值
• §2.2.1 定义
• pu的逼近性质'>§2.2.2 p次投影型插值i_pu的逼近性质
• §2.3 二维投影型插值
• §2.3.1 二维投影型插值的定义
• §2.3.2 误差多项式
• §2.3.3 误差估计的阶
• §2.3.4 投影型插值的误差估计
• 第三章 渐进展开式及超逼近
• §3.1 一维问题
• §3.2 三角形元
• §3.2.1 三角形线形元
• §3.2.2 三角形二次元
• §3.3 矩形元
• §3.3.1 双p次矩形元
• §3.3.2 双三次矩形元
• 第二篇 有限元后处理技术
• 第四章 超收敛后处理技术
• §4.1 超收敛后处理技术
• §4.1.1 插值后处理与整体超收敛性
• §4.1.2 外推技术
• §4.1.3 超收敛单元片恢复（SPR）技术
• §4.2 对称处理和几个引理
• 第五章 新的后处理技术
• §5.1 三角形二次元的后处理
• §5.1.1 恢复过程及数值结果
• §5.1.2 理论证明
• §5.2 奇次矩形元的后处理
• §5.2.1 恢复过程
• §5.2.2 数值分析
• §5.2.3 双p次元的证明
• §5.2.4 双三次元的证明
• 参考文献
• 附录（攻读学位期间所发表的学术论文目录）
• 致谢
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