几种非线性发展型方程解的爆破性

论文摘要

随着现代科学技术日新月异的发展,在物理学、化学、生物学、工程科学等许多科学领域,都不断的提出了大量的数学模型,其中很多模型都广泛的涉及到了一些发展型的抛物方程.这些提出的方程往往都是非线性的,而且具有退化性和奇异性.近几十年来,在对这些抛物方程问题的研究上,很多学者都取得了重大的进展.本文主要研究了发展型的双重退化抛物方程,带有非局部边界条件和移动局部源的多孔介质方程,以及带有时间延迟及动态边界条件的抛物方程,所讨论的问题包括非线性源,非局部边界条件,移动局部源,非局部源以及动态边界条件对方程解的爆破的临界指标的影响.本文共分三章,主要内容如下：在第一章中,我们主要研究如下的非牛顿多方渗流方程Cauchy问题正解的存在性和爆破性这里p>1,q>max{1,m（p-1）),m≥1,并且ω（x）（?）0和u0（x）均为Rn上的非负函数.这一章主要的目的是研究问题（1）正解的性质.当m（p-1）≥1时,方程具有退化性和奇异性,即如果m>1或p>2,则方程在u（x,t）=0或|▽u（x,t）|=0处具有退化点；而如果0<m<1或1<p<2,则方程在u（x,t）=0或|▽u（x,t）|=0处具有奇异点.我们将证明qc=（p-1）nm/（n-p）是问题（1）的临界指标.确切地说,如果q<qc,则（1）的正解对于任何非负初值总是爆破的；如果q>qc,则对一些适当大的初始条件,（1）的解在有限时刻爆破,并且若初始条件适当小,则其解是全局存在的；而如果q=qc,则（1）的解总是在有限时刻爆破.我们的主要方法是先给出问题的弱解定义,然后研究其局部存在性,再给出比较原理和解的先验估计,最后证明弱解的存在性和爆破性的结论.定义1称u（x,t）为（1）在QT（?）Rn×（0,T）上的一个弱解,如果且满足本章的主要结论如下：定理1设并且ω（x）（?）0和u0（x）均为Rn中的非负函数.（a）若则（1）的所有正解在有限时刻爆破；（b）若则（1）的所有正解在有限时刻爆破；（c）若则对于和（1）存在一个全局解,这里χ和Ci（i=1,2）是正常数.定理2设p>1,q>max{1,m（p-1）},m≥1,并且ω（x）（?）0和u0（x）均为Rn上的非负函数.若n≤p,则（1）的所有正解在有限时刻爆破.在第二章,我们考虑如下带有非局部边界条件和移动局部源的多孔介质方程的正解这里m>1是一个常数,Ω是RN（N>1）空间中带有光滑边界（?）Q的有界域.k（x,y）（?）0,x∈（?）Ω,且y∈Ω为一个非负连续函数,而u0（x）为一个非负连续函数并满足相容性条件且当x∈（?）Q时u0（x）=∫Ωk（x,y）uo（y）dy.xo（t）是一个从R+到K的连续可微函数,在Ω中有一个确定的紧支集.f（s）满足如下假设条件：（H1） f（s）∈O[0,∞)∩C1（0,∞）；（H2） f（O）≥0且f’（s）>0,s∈（0,∞）.首先定义问题（2）的上解和下解.定义2函数u称为问题（2）在QT上的下解,如果u∈C2,1（QT）∩C（QT∪ΓT）满足只须将上述定义中每个不等式反向,即可类似的得到该问题上解的定义.接下来建立关于问题（2）的比较原理,然后用比较原理证明该问题古典解的全局存在性和爆破性的结果.定理3设u和v为问题（2）相应的下解和上解,当x∈Ω,有u（x,0）≤v（x,0）,如果对某些δ>0,有v≥δ或u≥δ成立,则在QT上有u≤v.与齐次Dirichlet边界条件相比,权重函数k（x,y）在问题（2）解的全局存在或爆破性的讨论中起到了更加重要的作用.本章的主要结论如下：定理4假设∫Ωk（x,y）dy=1对x∈（?）Q且f（s）满足条件（H1）和（H2）,则当时,问题（2）的解全局存在,而当且对于sn>0时,问题（2）的解在有限时刻爆破.定理5假设∫Ωk（x,y）dy>1当x∈（?）Ω.如果有则问题（2）的解在有限时刻爆破.定理6假设∫Ωk（x,y）dy<1其中x∈（?）Ω,且f（s）满足条件（H1）和（H2）.（1）当时,问题（2）的所有解全局存在；（2）若则当u0（x）适当小时,问题（2）的所有解全局存在.为了证明在条件∫Ωk（x,y）dy<1下（2）解的爆破结果,我们需要补充如下条件：（H1’）f（s）∈C1[0,∞),sm-1/f’（s）在（0,∞）上是非减的,而且对某些so>0,有∫so∞f（s）/sm-1＜+∞不难看出,满足条件（H1’）的f（s）是容易找到的,比如常见的指数函数f（s）=es或多项式函数f（s）=sp（p>m）.定理7假设f（s）满足条件（H1’）和（H2）,而且uo（x）充分大,则问题（2）的惟一解u（x,t）在有限时刻爆破.在本章的最后,我们又给出了问题（2）解的全局爆破结果.定义3假设u（x,t）在有限时刻T爆破.我们称x*为u（x,t）的一个爆破点,若满足lim sup u（x*,t）=+∞.如果在Ω内的每个点均为爆破点,我们就称爆破是全局的.于是我们得到：定理8如果问题（2）的解u（x,t）在有限时刻T爆破,则u（x,t）全局爆破.在第三章中,我们考虑如下非线性抛物方程在带有时间延迟及动态边界条件下的解u（x,t）的爆破现象：其中1≤k<p∈R,m∈N,m≥2,其中2k+1<p∈R,k,m∈N.假设Ω为Rn中的有界区域,其边界（?）Ω是C2的.在其侧边界上,考虑动态边界条件,包括外法方向导数以及对时间变量的导数.外法方向和外法方向导数分别用v:（?）Ω→Rn及（?）v表示.另外我们假设耗散条件为σ（x,t）≥0,在（?）Ω×（0,∞）上考虑到古典解的情况,设б（x,t）∈O1(aΩ×（0,∞）.对于初值条件,我们要求φ（x）∈C（Ω）,φ（x）≥0,φ（x）≠0.本章的主要结论如下：定理9假设p>k≥m+1时,若满足下列条件之一（1）当时,且（2）当时,且则问题（3）的非负解u（x,t）在有限时刻T爆破,注1此问题可以推广到Neumann边值下的问题.注2方程中的exp（pu）换成f（u）≥Mexp（ku）,结论也成立定理10假设p>2k+1,则问题（4）的非负解u（x,t）在有限时刻T爆破,注3此定理可以推广到f（u）≥α|u|p的情形.

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 符号说明
• 绪论
• 第一章 非牛顿多方渗流方程Cauchy问题
• 1 引言
• 2 解的先验估计
• 3 定理的证明
• 第二章 带有非局部边界条件和移动局部源的多孔介质方程
• 1 引言
• 2 比较原理
• 3 全局存在和爆破性
• 第三章 带有时间延迟及动态边界条件的抛物方程
• 1 引言
• 2 主要结果与证明
• 参考文献
• 作者简介及科研成果
• 致谢