带有随机系数的随机微分方程解的存在唯一性及马尔可夫性质

论文摘要

随机微分方程是随机分析上一个十分活跃的领域,许多的数学家都对此很感兴趣。在随机系统的控制和滤波理论中,随机微分方程是不可缺少的工具,著名的Kalman-Bucy滤波公式就是一个典型的例子。工程结构分析中常常考虑随机载荷:风力,海浪,地震等等,其模型均可归结为随机微分方程,因此根据实际情况来建立数学模型考虑到随机因素的影响是很必要的。微分方程理论研究的一个基本问题是研究方程解的性态,因此对随机微分方程解的研究也引起了很多数学家的兴趣。特别是保证方程解的存在唯一性的条件不断的得到改进。本文主要研究了带有随机系数的随机微分方程解的存在唯一性与解过程的马尔可夫性质。首先给出了几个具体的带有随机系数的随机微分方程,并且利用Ito?公式给出了方程显式解的表达式,然后建立了带有随机系数的随机微分方程解的存在唯一性定理,分步的给出了定理的证明过程。带有随机系数的随机微分方程指随机微分方程的系数函数显式的依赖于概率空间的某一个随机变量ω而不是仅仅通过解过程本身依赖于概率空间的随机变量ω,而且这里的随机变量ω不认为是使得随机微分方程区别于其他随机方程的一个参数。随机微分方程的解过程是一马尔可夫过程,解的这一性质在实际应用中有很重要的意义,马尔可夫过程是很重要的一类随机过程。本文在证明了解的存在唯一性的基础上,证明了带有随机系数的纯量Ito?型随机微分方程解过程的马尔可夫性质。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 随机微分方程产生的背景及发展
• 1.2 随机微分方程解的定义
• 1.3 本课题的来源及主要研究内容
• 第2章 随机微分方程的基本概念和引理
• 2.1 主要概念和符号说明
• 2.2 主要的不等式和引理
• 2.3 本章小结
• 第3章 带有随机系数的随机微分方程解的存在唯一性定理
• 3.1 引言
• 3.2 解的存在唯一性定理
• 3.2.1 应举实例
• 3.2.2 预备引理
• 3.2.3 存在与唯一性定理
• 3.3 本章小结
• 第4章 带有随机系数的随机微分方程解过程的马尔可夫性质
• 4.1 引言
• 4.2 解过程的马尔可夫性质
• 4.2.1 准备工作
• 4.2.2 时齐随机微分方程解过程的马尔可夫性质
• 4.2.3 非时齐随机微分方程解过程的马尔可夫性质
• 4.3 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢