线性与模糊线性系统求解的块迭代方法

论文摘要

线性系统在数学、物理学、统计学、工程学甚至社会科学中的许多问题求解时都占有重要的地位,尤其在近似求解物理中的线性偏微分方程时,最终都转化为线性系统的求解问题,所以对线性系统的求解历来都是数值代数研究的主要问题.众所周知,求解线性方程组的数值方法一般分为两类:直接法和迭代法。直接法的计算量小,但计算格式较复杂,因而适用于阶数不太高的方程组.现实问题大都是阶数很高且稀疏的大型线性系统,直接法就显得无能为力,迭代法可以弥补其不足,它程序简单,存储量小,适合系数矩阵是高阶稀疏的情形。经典的Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR、AOR等方法以及各种修正方法在不同问题、不同条件下的应用研究有很多,但是新问题不断出现,就需要用新的方法和途径来解决已有方法所不能或者说不能很好地解决的问题,也就需要我们不断地对线性系统的迭代法进行研究。 模糊数学自从Zadeh在1965年发表的奠基性论文“Fuzzy Sets”中首次提出模糊集的概念后得到了迅速发展,现在已经逐渐形成了一个新的独立的数学分支,在工程分析、模式识别、自动控制、经济和金融等领域中都有广泛应用。在这些应用中许多问题最终都归结为模糊线性系统的求解问题,因此像一般线性系统在解决实际问题时所起到的作用一样,模糊线性系统在解决模糊问题时也起到关键作用,而且作用越来越强。这就需要我们对模糊线性系统的求解进行研究,当变量的个数非常多时,对迭代方法的研究就显得很必要了。 论文对线性和模糊线性系统的迭代法做了一些研究。 首先,采用把原系统增广为一个4×4块的相容系统并进行Subproper分裂的途径对线性最小二乘问题的SSOR、AOR和GAOR方法进行了研究,给出了方法的实现过程和收敛的充要条件,数值例子表明方法是有效可行的。 然后,通过引入一个对称非奇异的预条件矩阵Q对SSOR方法求解Saddle点问题进行了研究,即所谓的SSOR-like方法,得出了方法的收敛区间,并对最优参数进行了分析,给出了最优参数的隐式表示。还给出了此方法求解加权最小二乘问题和Stokes方程的数值例子,结果表明在一定预条件下优于Golub等人提出的SOR-like方法。 最后,对一类系数矩阵元素是精确数,右端向量元素是模糊数的n×n模糊线性系统的Jacobi、Gauss-Seidel、SOR和SSOR方法利用Embedding方法进行了研究,给出了算法的收敛性分析和数值示例。对一般的m×n模糊线性系统和不相容模糊线性系统也进行了研究。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第1章 引言
• 1 问题来源
• 1.1 线性系统
• 1.2 模糊线性系统
• 2 研究动机
• 2.1 线性最小二乘问题和Saddle点问题
• 2.2 模糊线性方程组求解
• 3 论文结构
• 第2章 预备知识
• 1 矩阵基本理论
• 1.1 基本概念和性质
• 1.2 向量范数和矩阵范数
• 1.3 投影算子
• 2 广义逆基础
• 3 迭代法概述
• 3.1 迭代法原理
• 3.2 基本迭代法
• 第3章 秩亏损线性最小二乘问题的迭代法
• 1 秩亏损线性最小二乘问题的SSOR方法
• 1.1 引言
• 1.2 预备知识
• 1.3 Subproper SSOR分裂
• 1.4 极小范数最小二乘解的计算
• 1.5 数值例子
• 1.6 结论
• 2 秩亏损线性最小二乘问题的AOR方法
• 2.1 引言
• 2.2 Subproper AOR方法和极小范数最小二乘解
• 2.3 数值例子
• 3 秩亏损线性最小二乘问题的GSOR方法
• 3.1 引言
• 3.2 Subproper GSOR分裂
• 3.3 数值例子
• 第4章 Saddle点问题的块SSOR迭代法
• 1 引言
• 2 SSOR-like方法
• 3 迭代矩阵的谱半径和最优松弛参数
• 4 预条件矩阵Q的选取
• 5 收敛区间的比较
• 6 数值示例
• 第5章 模糊线性系统及其迭代法求解
• 1 模糊线性系统的SSOR方法
• 1.1 引言
• 1.2 SSOR方法解模糊线性系统
• 1.3 数值例子
• 2 模糊线性系统的块迭代方法
• 2.1 块迭代方法
• 2.2 迭代矩阵谱半径之间的关系
• 2.3 数值例子
• 3 一般的m×n模糊线性系统
• 3.1 引言
• 3.2 m×n模糊线性系统
• 3.3 数值例子
• 4 不相容模糊线性系统
• 4.1 引言
• 4.2 模糊线性系统的模糊最小二乘解
• 4.3 数值例子
• 参考文献
• 在学期间的研究成果
• 致谢
• 附录