自变量分段连续型随机微分方程数值解的收敛性及稳定性

论文摘要

自变量分段连续型微分方程（EPCA）作为重要的数学模型在物理、生物及控制理论中有着广泛的应用。此类方程已吸引了众多学者的注意,并得到了很多有用的结论。然而目前为止还没有人考虑环境噪音的影响。事实上,周围环境或偶然因素可能会对系统产生巨大的影响。因此研究自变量分段连续型随机微分方程是既具理论意义又有应用价值的课题。本文主要涉及自变量分段连续型随机微分方程解析解的稳定性、数值解的收敛性和稳定性。论文以解析解的存在唯一性、稳定性及数值方法的收敛性、稳定性为视角回顾了随机微分方程和自变量分段连续型微分方程的研究发展历史。对于一类特殊的线性自变量分段连续型随机微分方程,给出了其零解均方渐近稳定的充分必要条件。定义了该方程的Euler-Maruyama方法,讨论了该方程数值解的均方渐近稳定性。证明了在解析解均方渐近稳定的条件下,如果步长满足一定的限制条件,则Euler-Maruyama方法得到的数值解也是均方渐近稳定的。最后,给出了步长的限制条件。对于具有一般性的线性试验方程,获得了其零解均方渐近稳定的一个充分条件。研究了半隐式Euler方法及Milstein方法在均方意义下的收敛性和均方渐近稳定性。对于半隐式Euler方法,得出了解析解满足的几个重要不等式,进而得出了数值方法在均方意义下的局部误差阶。在此基础上,由条件期望的性质证明了半隐式Euler方法应用于线性试验方程时在均方意义下是21阶收敛的。对于Milstein方法,其均方收敛阶为1阶。在讨论稳定性时,通过对差分方程进行讨论分别给出了半隐式Euler方法及Milstein方法均方渐近稳定的条件。另外,给出了步长h的限制条件。论文的每部分都进行了相应的数值试验,这些算例一方面验证了理论上推得结论的正确性;另一方面也形象地展示了数值方法的步长和参数对稳定性的影响。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景及意义
• 1.2 国内外的研究现状及分析
• 1.2.1 随机微分方程和随机延迟微分方程的研究现状
• 1.2.2 随机微分方程和随机延迟微分方程数值解的收敛性
• 1.2.3 随机微分方程和随机延迟微分方程数值解的稳定性
• 1.2.4 自变量分段连续型延迟微分方程
• 1.3 本文主要研究内容
• 第2章 预备知识
• 2.1 引言
• 2.2 解的定义及解的稳定性
• 2.3 随机积分的基本性质和定理
• 2.4 本章小结
• 第3章 一类自变量分段连续型随机微分方程数值解的稳定性
• 3.1 引言
• 3.2 解析解的均方渐近稳定性
• 3.3 Euler-Maruyama方法的均方渐近稳定性
• 3.4 数值算例
• 3.5 本章小结
• 第4章 线性自变量分段连续型随机微分方程数值解的收敛性及稳定性
• 4.1 引言
• 4.2 解析解的分析
• 4.3 数值分析
• 4.3.1 半隐式Euler方法及其收敛性
• 4.3.2 半隐式Euler方法的均方渐近稳定性
• 4.3.3 Milstein方法及其收敛性
• 4.3.4 Milstein方法的均方渐近稳定性
• 4.4 数值算例
• 4.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的学术论文
• 致谢