一类地球物理反问题的数值解法研究

论文摘要

本文主要研究了数学模型为不适定线性方程组的地球物理反问题的数值解法。首先,针对不同模型,采用了Picard理论对不适定问题进行了分析,给出了通过简单图形,确定模型受噪声污染情况以及正则化方法适用范围的方法。然后,采用了两类五种正则化方法,对不适定方程进行正则化处理,配以适当的正则化参数,成功地将这些方法应用于核磁测井解谱中。第一类方法称为静态方法,包括Tikhonov正则化方法和截断奇异值分解正则化方法。在截断奇异值分解正则化方法中,给出了兼顾解估计的分辨率和协方差的截断因子的选取方法。第二类方法称为迭代正则化方法,主要包括Landweber迭代正则化方法,迭代Tikhonov正则化方法,信赖域方法。其中信赖域方法是一种自动调节正则化参数的正则化方法。其次,本文给出了正则化参数的选取方法,包括偏差原理,GCV方法,L—曲线法及上述几种方法的优缺点。最后,对核磁共振测井解谱问题,实现了已有的方法,包括正则化方法,应用不同的模型限制条件矩阵,给出了最小长度解,最光滑解,最平滑解;截断奇异值分解法,改进的奇异值分解法;联合迭代反演法。另外,引入了两种解谱领域没有应用过的新方法,信赖域方法和改进的迭代Tikhonov正则化方法,分析了这两种方法的适用性,并与已有方法做了比较。同时应用L—曲线法选择了正则化参数,填补了目前国内外解谱领域正则化参数选取的空白。通过理论分析,实验数据及油田现场的测井数据,本文验证了上述的几种方法,配以适当的正则化参数和适当的迭代终止准则,可以使反演得到稳定的T2谱,并与Schlumberger的解谱结果做了比较。同时研究了核磁测井仪器、布点方式、布点数、观测数据的信噪比对解谱结果的影响。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 课题提出背景及其研究意义
• 1.2 地球物理反问题及反演方法
• 1.3 反演问题解的评价
• 1.4 本文主要研究内容
• 第二章 预备知识
• 2.1 空间算子理论
• 2.1.1 算子方程的一些基本概念
• 2.1.2 奇异值展开
• 2.2 不适定问题描述
• 2.2.1 不适定问题概念
• 2.2.2 离散不适定问题
• 2.3 模型噪声的判断方法
• 2.4 本章小结
• 第三章 静态正则化方法
• 3.1 Tikhonov正则化方法
• 3.2 地球物理反问题中解的评价
• 3.3 截断奇异值分解正则化
• 3.4 正则化参数选择
• 3.4.1 Morozov偏差原理（discrepancy principle）
• 3.4.2 广义交叉检验（GCV）准则
• 3.4.3 L-曲线准则
• 3.5 本章小结
• 第四章 迭代正则化方法
• 4.1 迭代法的基本理论
• 4.2 迭代Tikhonov正则化方法
• 4.3 Landweber迭代正则化方法
• 4.4 信赖域方法
• 4.4.1 信赖域算法简介
• 4.4.2 算法步骤
• 4.5 本章小结
• 第五章 核磁共振测井解谱方法
• 5.1 解谱原理
• 5.1.1 基本原理
• 5.1.2 核磁共振测井的仪器结构
• 5.1.3 数学模型
• 5.1.4 反演参数选择
• 5.2 已有解谱方法
• 5.2.1 Tikhonov正则化方法
• 5.2.2 截断奇异值分解法
• 5.2.3 联合迭代反演法（SIRT）
• 5.2.4 改进的奇异值分解
• 5.2.5 处理实例
• 5.3 迭代Tikhonov正则化方法
• 5.3.1 算法介绍
• 5.3.2 理论数据反演结果
• 5.3.3 处理实例
• 5.4 信赖域方法
• 5.4.1 算法简介
• 5.4.2 全局收敛性证明
• 5.4.3 理论数据和实验室测量数据的反演结果
• 5.5 布点数和布点方式对反演结果的影响
• 5.6 算法比较
• 5.7 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间取得的学术成果
• 致谢