几类神经网络模型的动力学分析及混沌理论的研究

论文摘要

本文主要研究了具有时滞和高阶项的Cohen-Grossberg神经网络模型与联想记忆模型的动力学行为和Devaney混沌要素与随机理论的关联。Cohen-Grossberg网络模型是上个世纪八十年代提出的一类由常微分方程组描述的人工神经网络，许多来自于神经生物学、生物种群和进化理论的模型都是它的特例，其中就有著名的Hopfield神经网络、双向联想记忆神经网络、细胞神经网络等。Cohen-Grossberg网络广泛地应用在平行计算、信号处理、联想记忆等领域，成为实际应用中的热门课题和很多理论研究者关注的焦点。本文中考虑了实际应用中固有的滞后特性和高阶项的优点，着重讨论了具有滞后性质和高阶项的模型中周期解的存在性和稳定性。联想记忆模型作为一种具有实际应用意义的神经网络模型，其不动点稳定性也是研究者关注的热点。本文介绍了一类多值联想记忆模型。其结构为具有复值离散激励函数的神经元的全连通Hopfield网络。这样的记忆方便了灰度图象自然处理，具有数学上简单化的优点。该模型是基于多值逻辑的概念，采用了复神经元模型。此外，正弦映射作为一种特殊的单峰映射，在具有类似logistic映射的动力学行为同时，由于它的周期性等特性产生了更多样的分支现象。耦合的正弦映射可以看作一类联想记忆模型，通过其分支的动力学行为讨论可以了解其不动点稳定性变化的临界条件。由于混沌行为表现出的不确定性、不可重复和不可预测性，越来越多的研究试图将混沌理论和随机现象中的不确定性联系起来。从拓扑学的角度，Devaney意义下的混沌无疑是一个相当著名的混沌定义。根据定义中的三个要素，可以对某些离散迭代系统，甚至某些具体的无限系统中的混沌动力学行为作定性分析。本文中通过对于讨论三要素中拓扑传递性、初值敏感性与概率论中某些性质的关联，尝试从概率论的角度更深入地探究混沌的含义。在第一章中，主要介绍了人工神经网络的历史背景及其在理论研究和应用中的表现出来特点，进而了解到Cohen-Grossberg神经网络的研究背景和进展，认识了多值神经元模型和神经生物学中的动态吸引子的特性，并概述了混沌理论的发展过程，Devaney意义下混沌的由来。同时给出了本文的结构。第二章首先介绍了Gains & Mawhin的定理和重合度理论相关的知识，引出了一类具有高阶项和时滞的Cohen-Grossberg神经网络连续模型和一些切实可行的假设条件。在构造必要的向量函数空间的基础上，具体证明了网络模型中周期解的存在性。进一步地，考虑模型中系数和时滞是时变的情况，并给出了相应的周期解的结果。此外，将连续模型进行Euler离散化，运用Schauder不动点定理，讨论了离散模型中周期解的问题。在本文的第三章中，深入讨论了有时滞的高阶Cohen-Grossberg神经网络连续模型周期解的稳定性问题。首先利用Lyapunov泛函的方法，在周期解存在的基础上，证明了指数稳定性结果。接着，在模型矩阵向量形式下，运用线性矩阵不等式的相关定理，分别给出了周期解全局渐近稳定和全局指数稳定的充分条件。最后，结合前一章周期解存在性结果，通过数值模拟对于几例实际的系统模型验证了结论。第四章首先介绍了一类多值联想记忆模型。其结构为具有复值离散激励函数的神经元的全连通Hopfield网络。运用构造Lyapunov函数的方法，得到了其同步方式下网络稳定性的结论。此外，还讨论了正弦映射及其非对称线性耦合情形下出现分支现象的条件。正弦映射与logistic映射之间的共性与特性，使其产生了更复杂的动力学行为，更多样的分支现象。本文的第五章则通过对于Devaney混沌定义和随机理论中一些性质的介绍，讨论了一满足某些随机性质的特定系统和Devaney定义的混沌要素之间的联系，得到了拓扑传递和概率论中大数定理、中心极限定理的关联，给出了对于当一特定系统的演化是初值敏感时应具备的随机属性。在第六章中，回顾了本文的主要工作，并以此为基础介绍了时滞神经网络模型和混沌理论研究中的重要课题和前景。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论——研究背景
• 1.1 人工神经网络的历史背景及特点
• 1.2 Cohen-Grossberg神经网络研究背景及进展
• 1.3 多值神经元模型的发展
• 1.4 神经生物学中动态吸引子
• 1.5 混沌理论的历史背景
• 1.6 本文结构
• 2 有时滞的高阶Cohen-Grossberg神经网络的周期解
• 2.1 重合度理论和连续模型
• 2.2 常系数网络模型的周期解
• 2.3 时变系数和变时滞的网络模型
• 2.4 常系数离散网络模型的周期解
• 2.5 结论
• 3 有时滞的高阶Cohen-Grossberg神经网络周期解的稳定性
• 3.1 Lyapunov泛函的方法
• 3.2 线性矩阵不等式的方法
• 3.3 举例说明
• 3.4 结论
• 4 几类联想记忆模型的动力学分析
• 4.1 多值联想记忆模型
• 4.1.1 复值神经网络
• 4.1.2 网络稳定性
• 4.2 正弦映射
• 4.2.1 叉形分支
• 4.2.2 倍周期分支
• 4.3 耦合的正弦映射
• 4.4 结论
• 5 Devaney混沌定义中的随机性质
• 5.1 预备知识
• 5.2 拓扑传递性
• 5.3 初值敏感性
• 5.4 结论
• 6 工作展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的文章、参与的项目
• 致谢