Hamilton系统的大范围周期轨道之估计

论文摘要

Hamilton 系统等能曲面上的周期轨道的同伦类即表示系统大范围周期轨道的种类。这只需计算等能曲面上的基本群π1(K),由于计算基本群π1(K)非常困难,将用第 1 整同调群H1(K)来代替π1(K).等能曲面上的拓扑性质由相空间的拓扑性质及 Hamilton 系统的大范围性质决定。本文用相空间及 Hamilton 函数的整体性质估计了 Hamilton 系统的大范围周期轨道的类型数的上界。用上述工具把已有证明中的不足之处加以改进,得出本文基本定理的新的证明。定理的应用所举的例是具有外力的刚体运动,考虑 Kovalevskaya 情形的刚体运动,给出了一个判别刚体运动情形下可容许的 Morse 函数的非退化临界点指标的简单方法,得出 Kovalevskaya 情形的刚体运动的系统的大范围周期轨道的类型数的上界的具体估计。当今世界,研究本领域(Hamilton 系统的拓扑理论)的基本上是以 Fomenko 为首的俄罗斯学派和少数的西方学者,他们已研究了可积Hamilton 系统能量面的拓扑及其与稳定周期解个数的下界的关系等。本文创新之处一在已有定理证明过程的改进处,二在应用定理估算 Kovalevskaya 情形刚体运动的大范围周期轨道类型数的计算过程中。

论文目录

• 第0 章序言
• 0.1 拓扑学的一般介绍
• 0.1.1 点集拓扑的一般介绍
• 0.1.2 微分拓扑的发展
• 0.1.3 代数拓扑的发展
• 0.2 Hamilton 动力系统的拓扑理论的介绍与发展
• 0.2.1 Hamilton 动力系统的拓扑理论的一般介绍
• 0.2.2 Hamilton 动力系统的拓扑理论的发展
• 0.3 本文课题来源的主要参考文献内容及本文所作的工作
• 0.4 本文的编排
• 第一章 Hamilton 系统的准备知识
• 1.1 微分流形
• 1.2 位形空间、状态空间与辛结构
• 1.3 自然Hamilton 系统
• 第二章 Morse 理论
• 2.1 奇异同调理论的相关知识
• 2.2 Morse 函数
• 2.3 用临界值刻画流形的同伦型
• 2.4 Morse 不等式
• 第三章 基本群与奇异同调理论
• 3.1 基本群
• 3.2 基本群与奇异同调群的关系
• 3.3 本文结论及证明
• 第四章 大范围估计在刚体运动上的应用
• 4.1 Kovalevskaya 情形的刚体运动
• 4.2 定理3.3 的具体应用
• 4.3 与前人结果的对照
• 结论
• 参考文献
• 致谢
• 在学期间发表的学术论文