论文摘要
科学与工程的很多领域如高阶微分方程求解,计算电磁学,流体力学,油藏模拟和最优化问题等都离不开大型线性代数方程组的求解.大型线性代数方程组的求解研究是大规模科学与工程计算的核心,具有重要的理论价值和应用价值.本文对与大型线性代数方程组迭代求解有关的特殊矩阵和数值特征进行了深入的研究,特别系统地研究了矩阵分裂迭代法的收敛性和比较理论及鞍点问题迭代求解预处理技术.全文共六章,分四个部分:第一部分（第二章）研究了两类特殊矩阵:非奇H-矩阵和广义H-矩阵.论文基于矩阵α-对角占优给出了非奇H-矩阵简捷判据,为非奇H-矩阵判据研究提供了新的思路.还得到了广义H-矩阵若干等价命题,充分或必要条件,对广义H-矩阵进行了进一步推广,该推广部分回答了著名计算数学专家Nabben提出的公开问题.第二部分（第三章）给出了矩阵数值特征估计.论文给出了一类包含C-矩阵的非奇异矩阵（MC-矩阵）,利用该类矩阵性质得到了实矩阵实特征值的排除区间,进而得到了随机矩阵实特征值的界.同时也得到了实矩阵特征值实部的包含区间,具有非负非对角元的实矩阵的实特征值的简单上下界.还获得了矩阵数值半径新的等价公式,并由此得到了矩阵数值半径新下界.最后给出了非奇M-矩阵和逆M-矩阵Hadamard积最小特征值下界,其中一些下界仅依赖于矩阵元素.本部分得到的结果优于近期的相关结果.第三部分（第四章）研究了矩阵分裂的收敛性和比较理论.得到了非Hermitian正定矩阵单分裂的收敛条件.利用Hermitian正定矩阵和非负矩阵理论得到了Hermitian正定矩阵和单调矩阵双分裂的收敛性理论,基于该理论获得了非奇H-矩阵Jacobi和Gauss-Seidel双SOR方法的收敛区域.首次研究了矩阵双分裂的比较理论,得到了并行混沌多分裂的比较理论,这些理论为迭代法的选择提供了一些理论依据.第四部分（第五章）研究了鞍点问题迭代求解预处理技术.首先给出使得非对称鞍点矩阵具有实正特征值且可对角化的充分条件,该条件比已有著名条件更弱.其次,深入研究PBP预处理子特别是正则化预处理子的谱性质,给出了预处理矩阵实特征值和非实特征值的包含区域,指出若满足一定条件,PBP预处理矩阵仅有正实特征值,可使用非标准的共轭梯度算法,用Stokes方程和Maxwell方程做数值试验测试了正则化预处理子的性能.还研究了广义鞍点问题PSS预处理子的谱性质,克服了已有的研究只针对（2,2）块是0的鞍点问题的缺陷,证明了当迭代因子趋于0时,PSS预处理矩阵的特征值聚集在（0,0）和（2,0）附近,从而理论上说明了最优迭代因子应比较小,并用Stokes方程和Oseen方程做数值试验表明迭代因子一般选择在0到1之间.最后对混合型时谐Maxwell方程,首次提出了免增广和免Schur余块三角预处理技术,理论分析说明其构造及应用代价和已有的免增广和免Schur余块对角预处理子相当,但有更好的特征值聚集性质,数值试验也说明其性能大大优于免增广和免Schur余块对角预处理技术.
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标签：非奇矩阵论文; 广义矩阵论文; 特征值论文; 数值半径论文; 矩阵分裂论文; 鞍点问题论文; 子空间法论文; 预处理技术论文;