论文摘要
脉冲微分方程的理论和方法在近三十年的研究中得到不断地完善,已经形成一个比较完整的体系,被广泛应用于种群动力学、传染病动力学、药物动力学、生物控制论、生物统计、数量遗传、化学反应等方面。本文主要考虑了在环境周期变化下和脉冲作用下的捕食者-食饵系统、Chemostat系统和传染病动力系统的动力学性质。以脉冲动力系统的理论为基础,同时结合离散动力系统、连续动力系统、算子理论、优化理论和数值模拟等相关理论和方法,在已有研究成果的基础上,研究这些模型正平衡解的局部和全局分支与渐近稳定性、周期解的存在性和稳定性、系统的持续生存、吸引子、混沌现象及最优脉冲控制等问题。全文共分为五章。第一章简单介绍了种群动力学和传染病动力学的有关研究现状及本文的主要工作,并给出了微分方程和脉冲微分方程的一些定义和预备知识。第二章以农业生产中的害虫治理为应用背景,研究了两个三维捕食者-食饵系统的动力学性质。在第一节,构建了一个具有Ivlev功能反应和脉冲效应的两个食饵一个捕食者系统,利用脉冲比较定理,得到了系统两个食饵灭绝、一个食饵灭绝和系统持久的条件,并数值解释了所得到的理论结果。通过分支图,发现脉冲作用带给系统倍周期分支、半周期分支和混沌等复杂的动力学行为。在第二节,考虑到当一个新的物种入侵到一个新的环境时,新环境中的食物对其而言是丰富的,这时,应用半比例依赖的捕食者-食饵系统来描述其动力学行为是非常合适的。为了控制这种新的物种,可以考虑引进该物种的天敌,为此得到一个半比例依赖混合食物链系统,即系统的食饵-中级捕食者子系统是半比率依赖模型,中级-顶端捕食者子系统是具有HollingⅡ功能性反应的捕食者-食饵系统。对于这个半比例依赖混合食物链系统,得到了顶端捕食者入侵系统的条件、系统的持久性条件和正平衡态稳定性条件以及在其失去稳定性时,Hopf分支发生的条件。通过数值模拟,发现该连续系统存在混沌吸引子。第三章研究了连续周期输入的Monod-Haldene型、周期冲稀的Lotka-Volterra型和多次周期脉冲输入的Monod型Chamostat食物链系统。讨论了营养基-食饵子系统的周期解的全局稳定性;得到了食饵和捕食者成功培养的临界值条件;应用标准的分支理论,证明了在分支参数超过临界值不大时,系统有稳定的正周期解;选择不同的分支参数,数值模拟了在脉冲或时变作用下Chamostat食物链系统的分支和复杂性。第四章分别讨论了两类具有饱和传染率的SIRS传染病模型。在第一节,研究了具有饱和传染率的脉冲免疫接种SIRS传染病模型,得到了无病周期解全局渐近稳定的充分条件和系统一致持续生存的充分条件,并应用分支理论得到了正周期解存在的分支参数。在第二节,考虑到病人一旦染病不可能立即痊愈,从染病到痊愈往往要经历一段时间,因此,在第一节的脉冲免疫接种SIRS模型中,我们添加了时滞项,得到了具有饱和传染率的脉冲时滞SIRS模型。应用脉冲比较定理,研究了无病周期解的全局吸引性和系统的持久性,从而得到疾病根除或成为地方病的条件。第五章构建了一个脉冲治理害虫的病毒病模型,即通过脉冲投放病虫致使易感害虫种群感染病毒,成为患病的害虫,从而达到消灭害虫的目的。利用Floquet定理和小参数扰动技巧,得到了易感害虫灭绝周期解稳定的临界值条件。选择害虫出生率作为分支参数,应用标准分支理论,证明了在分支参数超过临界值不很大时,系统有稳定的正周期解。此外,数值模拟了该脉冲系统的分支和复杂性。结果表明,脉冲作用带给系统许多复杂的现象,如拟周期震荡,倍周期分支,混沌等。